**TI82** TxtView file generated by CalcText - Kouriö çunique lçåÿUne S qui converge Démonstration : Nous allons effectuer un raisonnement dit « par l’absurde ». Supposons que la suite (un) converge vers les limites l et l’ et que l ≠ l’. Les réels l et l’ étant différents, la distance qui les séparent l - l ' est différente de 0. Posons r = l - l '/4 et considérons les deux intervalles I = ] l-r ; l+r [ et I’ = ] l’-r ; l’+r [. Comme (un) converge vers l, il existe un rang n1, tel que pour tout n≥n1 un !I. Comme (un) converge vers l’, il existe un rang n2, tel que pour tout n≥n2 un !I’. Considérons n0 = max(n1 ; n2). Alors pour tout n ≥ n0, un !I et un !I’. Or ceci est absurde (impossible) car les deux intervalles I et I’ sont disjoints. Notre hypothèse de départ « Supposons que la suite (un) converge vers les limites l et l’ et que l ≠ l’ » est donc fausse. Cela revient à dire qu’une suite ne peut pas converger vers deux limites distinctes. En d’autres termes la limite d’une suite est unique. ÿY