**TI82** TxtView file generated by CalcText - Kouri’ ƒDERIVAƒÿMaths - DérivationTaux d'accroissement Soit un réel a appartenant au domaine de définition d'une fonction f. Pour tout réel h non nul, on appelle taux d'accroissement ou taux de variation de f entre a et a+h le quotient : f(a+h)-f(a) / h En posant x=a+h, le taux d'accroissement entre x et a s'écrit : f(x)-f(a) / x−a La fonction f est dérivable en a si et seulement si son taux d'accroissement en a admet une limite finie quand h tend vers 0 (ou quand x tend vers a dans la deuxième forme). Cette limite est appelée nombre dérivé de f en a, et est notée f'(a) : lim h-> 0 f(a+h)-f(a) / h = lim x->a f(x)-f(a) / x-a = f'(a) Tangente à une droite en un point Si f est dérivable en a, sa courbe représentative admet une tangente non verticale au point de coordonnées (a;f(a)), de coefficient directeur f'(a), dont une équation est : y = f'(a)(x−a)+f(a) Dérivées des fonctions usuelles f'(constante) = 0 f'(x) = 1 f'(x puiss n) = nx puiss n-1 f'(1/x puiss n) = -n / x puiss n+1 f'(racine de x) = 1/ 2 racine de x f'(sin(x)) = cos(x) f'(cos(x)) = - sin(x) Opérations sur les dérivés constante x u = Constante x u' u + v = u'+ v' u x v = u'v+uv' 1/u = -u' / u2 u / v = u'v - uv' / v2 Le sens de variation d'une fonction Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I : - si f' est positive sur I, alors f est croissante sur I. - si f' est négative sur I, alors f est décroissante sur I. - si f' est nulle sur I, alors f est constante sur I. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I : - si f' est positive et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement croissante sur I. - si f' est négative et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement décroissante sur I. Les extremum locaux d'une fonction Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I : si f admet un extremum local en un réel a de I, alors f'(a)=0. Si f' s'annule en changeant de signe en a, alors f(a) est un extremum local de f. Si f admet un extremum local en a, alors sa courbe représentative admet une tangente horizontale au point d'abscisse a.ÿ#Ó