**TI82** TxtView file generated by CalcText - Kouri^OMathsOMÿMathématiquesGENERALITES fonction paire <=>f(x) = f(-x) »axe de symétrie : (Oy) fonction impaire <=>f(-x) = -f(x) » O centre de symétrie démontrer existence axe de symétrie formule » axe symetrie x=a f(a-h)=f(a+h) »“(€,) centre de symétrie f(€+h)+f(€-h) = 2 translations axe translation vecteur O“ “(€,) {x = X + € {y = Y + puis montrer que f est paire dans le nouveau repère fonction périodique f(x+T)=f(x) »graphique invariant pour toute translation de vecteur kT*i fonctions composées gof(x)<=>g[f(x)] x ¿ Dgof <=> { x ¿ Df { f(x) ¿ Dg si g et f varient dans le même sens » gof est croissante si g et f varient dans des sens contraires » gof est décroissante sens de variation pour aœb fonction croissante f(a)œf(b) fonction décroissante f(a)žf(b) fonction constante f(a)=f(b) maximum en x0 sur D » pour tout x ¿ D f(x) œ f(x0) minimum en x0 sur D » pour tout x ¿ D f(x) ž f(x0) asymptotes si lim f(x) = l x»€ » y=l asymptote à Cf en € si lim f(x) = € x»x0 » x=x0 asymptote à Cf en € CONTINUITE Si f admet une limite finien x0, cette limite est égale à f(x0) »f est dite continue en x0 lim f(x)=f(a) ou x»a lim f(a+h)=f(a) h»0 Pour montrer qu'une fonct.est continue en x0, il fau montrer qu'elle est continue à gauche et à droite en x0 Les fonctions polynomes, rationnelles,trigo, racine et valeur absolue sont continues sur leur ensembl de définition les composées dee fonctionle sont aussi THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES si f est une fonction continue est strictement monotone sur I=[a,b], alors pour tout k réel appartenant à J=[f(a),f(b)],l'équation f(x)=k admet une sol. unique sur I encadrement avec le tableur de la calculette LIMITES Limite d'une composée f=gou lim u(x)= x»€ lim g(x)=… x» alors lim gou(x)=… x»€ limites trigonométriques cos et sin n'ont pas de limites en + ou -¸ par contre lim tan x = -¸ x» -Œ/2 x> -Œ/2 lim tan x = +¸ x» -Œ/2 x< -Œ/2 limites exponentielles lim —X=+¸ lim —X=0 x»+¸ x»-¸ n ¿ N lim ex=+¸ lim ex=+¸ x»+¸ x x»+¸ xn lim x—x =0 lim xn—x =0 x»-¸ x»-¸ lim ex-1 =1 x»0 x Logarithme lim ln(x)=+¸ lim ln(x)=-¸ x»+¸ x»0 n ¿ N lim ln(x)=0 lim ln(x)=0 x»+¸ x x»+¸ xn lim xln(x)=0 lim xnln(x)=0 x»0 x»0 lim ln(1+x)=1 x»0 x lim ln(x) =1 x»1 x-1 exp "l'emporte" sur les puissance de x, et les puissances de x l'emporten sur ln DERIVABILITE définition f'(a)=lim (f(x)-f(a)) x»a (x-a) ou f'(a)=lim (f(x+h)-f(a)) h»0 h fonctions polynomes, rationnelles sont dérivables sur leur ensemble de Df DERIVABLE => CONTINUE CONTINUE > DERIVABLE dérivée fonctions usuelles fonctions dérivées u+v | u'+v' uv |u'v = v'u u/v |(u'v-v'u)/v® 1/v | -v'/v® cos u | -u'*sin u sin u | u'*cos u u³ | x*u'*u³° §(u) | u'/(2§u) —³ | u'—³ ln u | u'/u Montrer qu'une fonction est dérivable en a » dérivable à gauche et à droite f'(a)d = f'(a)g f'(a)d=lim (f(x)-f(a)) x»a (x-a) x>a f'(a)g=lim (f(x)-f(a)) x»a (x-a) x0 pour tout x e0=1 e1=e e-a= 1 ea-b= ea ea eb ea+b= ea*eb ea < eb ×=> a < b ea = eb ×=> a = b exp (x) = exp'(x) (eu)'=u'eu exp stricitement croissant sur ]-¸,+¸[ LN (propriétés) ln ex=x eln y=y ln(ab)=ln a + ln b ln(a/b)=ln a - ln b ln (1/a) = - ln a ln an = n * ln a ln(§a)= 1/2 * ln a Dln = ]0,+¸[ ln 1 = 0 (ln x)'= 1 (ln u)'= u' x u ln a < ln b ×=> a < b ln a = ln b ×=> a = b ln x > 0 ×=> x >1 ln x < 0 ×=> 0< x <1 ln stricitement croissant sur ]0,+¸[ log x = ln x log 10=1 ln 10 Fonction exp base a a ¿ ]0,+¸[, b ¿ R ab=ebln(a) mêmes propriétés que exp Racine nième y=n§x x=yn n§x = x1/n f(x) = n§x f'(x)= 1/n*x1/n-1 EX TYPE LOGARI/EXPO Avec les logarithme ln(2x+7)=ln(x-3) *ln(2x+7) est def ssi 2x+x>0 soit si x>ª7/2 ln(x-3) est def ssi x-3>0 soit si x>3 l'eq est def sur ]ª7/2,+¸[½]3,+¸[=]3,+¸[ *sur ]3,+¸[ ln(2x+7)=ln(x-3) <=>2x+7=x-3 <=>x=ª10 *ª10 n'appartient pas a ]3,+¸[ dc S=0 Avec les expo —³=5 <=>ln(—³)=ln(5) <=>x=5 (vérifier que la solution est >0) Avec les expo en base a 2^(x+3)=3^(x+2) <=>(x+3)l,2=(x+2)ln3 <=>xln2+3ln2=xln3+2ln3 <=>xln2+ln8=xln3+ln9 <=>x(ln(2/3))=ln(9/8) <=>x=(ln9/8))/(ln(2/3)) Autre ex: 4³-12*2³-45=0 <=>—^(xln2)®-12*—^(xln2) -45=0 On pose X=—^(xln2) » X®-12X-45=0 —^(xln2)=-3 ( impossible) —^(xln2)=15 <=>—^(xln2)=—^(ln15) <=>xln3=ln15 <=>x=ln3/ln15 EQUATIONS DIFFERENTIELLES y'- ay=0 équation de la forme y'=ayavec a¿R* dont les sol. sont les fct. de la forme x»C—ax y'-ay-b=0 équation de la forme y'=ay=b avec a¿R* dont les sol. sont les fct. de laforme x»C—ax-b/a pour tous couples (x0,y0) il y a une unique fonction solution tel que f(x0)=y0 EX TYPE EQUA DIFF Soit l'eq diff (E): y'+y=2(x+1)—ª³ 1)Montrer que fg def surR par g(x)=(x®+2x)—ª³ est sol de bE) 2)Montrer qu'une fct f est sol de (E) ssi f-g est sol de l'eq (E1):y'+y=0 3)Resoudre l'eq (E1) et en deduire les sol de (E) 1\g def est deriv sur R g(x)=(x®+2x)—ª³ g'(x)=(2-x®)—ª³ Pour que g soit sol de (E),il faut et il suffit que:g'+g=2(x+1)—ª³ calcul de g'+g donc la fct g est bien sol de (E) 2\f est sol de (E) est <=> f'(x)+f(x)=2(x+1)—ª³ pr tt x reel <=> f'(x)+f(x)=g'(x)+g(x) pr tt x reel <=> (f'-g')(x)+(f-g)(x)=0 pr tt x reel <=> f-g sol de (E1):y'+y=0 3\(E1):y'+y=0 eq a y'=ªy eq de la forme....x»C—^(ax) donc les sol de E1 st les fct de la forme x»C—ª³ f est sol de (E) ssi f-gsol de (E1) donc (f-g)=C—ª³ d'ou f=C—ª³+(x®+2x)—ª³ dc les sol de E st le fct de la forme x»C—ª³+(x®+2x)—ª³ÿ