**TI82** TxtView file generated by CalcText - Kourio!`!ROC`!^!ÿToutes les ROCThéorème : Si une suite (un) est croissante et non majorée, alors lim+00 un = +00 si une suite (un) est décroissante et non minorée, alors lim+00 un = +00. Démo : Soit (un) une suite croissante et non majorée. Par définition, comme (un) est non majorée, pour tout réel A, il existe un terme N u de la suite tel que uN > M . Mais comme la suite est croissante, pour tout n > N, un > uN . Nous avons donc prouvé que pour tout réel A, à partir d’un certain rang N, on aura un > M pour n > N ,ce qui correspond à la définition de tendre vers +00 . La démonstration est analogue pour -00 . Théorème : Si deux suites sont adjacentes alors elles convergent et ont même limite L. De plus on a un £ L £ vn . Démo : Soient deux suites adjacentes (un) et (vn). On a n n 0 u £ v £ v car v est décroissante donc majorée par son premier terme : ainsi, la suite u est croissante et majorée, donc elle converge. On note L sa limite. On montre de même (faite le) que la suite v est décroissante minorée donc elle converge ; on note L’ sa limite. Comme on a lim 00( vn-un ) =0, on obtient L – L’ = 0 donc L = L’. Enfin, la suite u étant croissante, on a n u £ L et comme v décroît, n L £ v d’où un £ L £ vn Théorème : Soit f, g, h trois fonctions définies sur un intervalle I = [ a ; +00[ telles que f (x) £ h(x) £ g(x) sur I. Si lim +00f(x )=L= lim +00g(x ), alors h admet une limite en +¥ et on a lim +00h(x )=L Démo : Soit J un intervalle contenant L. Comme lim +00f(x ) = L = lim +00g(x ), par définition pour x suffisamment grand f(x) et g(x) sont dans J. Comme pour tout x f (x) £ h(x) £ g(x) , h(x) est également dans J pour ces mêmes valeurs de x. Donc h vérifie la définition de lim +00h(x )=L Théorème des valeurs intermédiaires : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k. Démo : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I avec a £ b . Soit k un réel compris entre f(a) et f(b). Définissons maintenant deux suites (an) et (bn) : · On pose a0 = a et b0 = b : on a donc k E [f (a0 ) ; f (b0 )] · Supposons que les termes an et bn soient construits et tels que kE[ f (an ) ; f (bn ) ], et définissons les termes suivants (récurrence…). Plaçons nous alors dans l’intervalle [ an ; bn ] et calculons u=f((an+bn)/2). Si k est supérieur à u, nous posons an+1=(an+bn)/2, bn+1=bn. Si k est inférieur à u, nous posons an+1=an, bn+1=(an+bn)/2. Dans tous les cas on sera sûr que kE [f (an+1 ) ; f (bn+1 )] . · Par construction, an est croissante, bn est décroissante et en plus, comme à chaque fois on prend le milieu de l’intervalle, bn+1-an+1=(1/2)(bn-an) . La suite (bn-an) est donc géométrique de raison ½ donc elle tend vers 0. · Ces deux suites sont donc adjacentes, donc elles convergent. Notons c leur limite commune. Comme f est continue, lim00f(an)=lim00f(bn)=f(c). Enfin, pour tout n, f (an ) £ k £ f (bn ) par construction, et d’après le théorème des gendarmes, k=lim+00f(an)=lim+00f(bn)=f(c). Théorème des valeurs intermédiaires (bis) : Soit f une fonction continue, strictement monotone sur un intervalle I, a et b deux réels de I. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un unique réel c compris entre a et b tel que f(c) = k. Démo : L’existence de c a été démontrée ci-dessus. Démontrons maintenant son unicité pour les fonctions strictement monotones. Supposons que f est strictement croissante par exemple. Soit c’ un autre antécédent de k. Si c < c’, par monotonie de f, f(c) < f(c’), cad k < k ! Absurde ! Il est clair que si c > c’, la même absurdité apparaît. On a donc c’ = c, d’où l’unicité. Théorème : Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a un point de I. Alors il existe une unique primitive F de f sur I telle que F(a) = 0 : cette primitive sera notée ( ) ( ) x a F x = ∫ f t dt . Démo : Existence : D’après le théorème précédent, l’existence d’une primitive de f sur I est établie. Soit donc G une primitive de f sur I. Alors, la fonction F(x) = G(x) – G(a) est bien une primitive de f qui s’annule en a. Unicité : Soient F et G deux primitives de f sur I telles que F(a) = G(a) = 0. On a F’(x) = G’(x) = f(x) donc sur I, (F-G)’ = 0 donc la fonction F – G est constante sur I : il existe donc un réel k tel que F = G + k. Comme F(a) = G(a), on trouve k = 0 et donc F = G. F est bien unique. Théorème : Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que f ’ = f et f(0) = 1. Résultat Préliminaire : Si f est une fonction dérivable sur ℝ telle que f ’ =k f et f(0) = 1 alors f ne s’annule pas sur ℝ . Démo : Soit g(x) = f(x)f(-x), dérivable sur ℝ . On a g’(x) = f ’(x)f(-x) –f(x)f ’(-x) = kf(x)f(-x) –f(x)( kf(-x) ) = 0 : g est donc constante et comme g(0) = 1, pour tout x on a g(x) = 1. Comme g(x) = f(x)f(-x), f ne peut donc pas s’annuler. □ Unicité Soient f et g deux fonctions solution de notre équation y’ = y avec f(0) = g(0) = 1 : posons alors h=f/g (g ne s’annule pas, résultat préliminaire), fonction dérivable sur ℝ . On a h'=(f'g-g'f)/g2=(fg-gf)/g2=0 puisque f’ = f et g’ = g : la fonction h est donc constante sur ℝ , et comme h(0) = 1, pour tout x, f(x)/g(x)=1 d’où f = g. L’unicité est démontrée. Existence ® L’existence est en général (plus ou moins démontrée) à l’aide de la méthode d’Euler et des approximations affines. Nous allons ici démontrer l’existence de cette fonction d’une manière « plus propre », à l’aide du logarithme népérien. · La fonction 1/x est continue sur ]0 ; +¥[ , elle admet donc une unique primitive qui s’annule en 1 sur cet intervalle (théorème précédent) : nous notons ln(x) cette fonction, et donc ln(1) = 0. Par dérivation des fonctions composées on a : (ln[f])'=f'/f· Comme f ne s’annule pas (résultat préliminaire), l’équation f’ = f devient alorsf'(x)/f(x)=1 -> ln([f(x)])=x+K par intégration. De plus, comme f(0) = 1, il vient ln 1 = 0 + K ⇒ K = 0 . Ainsi, ln f [(x)] = x . · Remarquons maintenant que la fonction ln est bijective (à l’aide du TVI) et a donc une fonction réciproque. Nous l’appelons exponentielle, notée exp(x) : ainsi [f (x)] = exp(x)Û f (x) = ±exp(x) . · Comme f(0) = 1, on en déduit que f (x) = exp(x) , et par construction exp(x) est solution de f’ = f. Propriété : L’exponentielle ne s’annule pas sur ℝ et on a exp(-x) = 1/exp(x) . Démo : Avec g(x) = f (x) f (-x) , nous avons prouvé que g(x) = 1 d’où le second résultat.□ Propriété : L’exponentielle est strictement positive sur ℝ . Démo : Supposons le contraire cad qu’il existe un réel a tel que exp(a) £ 0 : on a forcément exp(a) < 0 puisque exp ne s’annule pas. Mais la fonction exp est continue sur ℝ (car dérivable) et on a exp(0) = 1 > 0, exp(a) < 0 donc d’après le TVI, 0 admet un antécédent entre 1 et a : absurde car exp est toujours non nul.□ Propriété : L’exponentielle est strictement croissante sur ℝ . Démo : évident puisque exp’(x) = exp(x) > 0. □ Propriété : Pour tout réel a et b, exp(a+b) = exp(a)exp(b). Démo : posons g(x) = f (x + a)f (-x) : g est dérivable et g'(x) = f '(x + a)f (-x) + f (x + a)(-f '(-x)) = e(x+a)e(-x) - e(x+a)e(-x) = 0 . g est donc constante et comme g(0) = exp(a), pour tout x on a g(x) = g(a)ssi exp(x + a)´exp(-x) = exp(a)ssi exp(x + a) = exp(x)´exp(a) puisque exp(-x) = 1/exp(x). Théorème : Soit a un réel. Les solutions de l’équation différentielle y’ = ay sont les fonctions de la forme f (x) = Ke(ax) , KEℝ . Démo On a y’ = ay soit y'/y=a -> ln[y]=ax+Kssi[y]=e(ax+K)=e(K)e(ax)ssi y=±Ce(ax) , C réel positif non nul. □ Théorème : Soient a et b deux réels (donc constants !). Soit (E) l’équation différentielle y’ = ay + b. Il existe une unique fonction f solution de (E) et telle que 0 0 f (x ) = y . Démo ® Cherchons une solution particulière de (E) qui soit constante. Posons f(x) = c. 0 f est solution de (E) si 0 = ac + b donc la fonction f0(x)=-b/a est une solution particulière de (E). ® Ainsi, f est solution de(E) ssi f'-af=b=f0'-af0ssi(f-f0)'=a(f-f0) donc ssi la fonction f - f0 est solution de l’équation y’ = ay. ® D’après le théorème précédent, on en déduit qu’il existe un réel K tel que f (x) - f0 (x) = Ke(ax) et donc, les solutions de (E) sont les fonctions f (x) = Ke(ax) + f0 (x) , K réel. ® A l’aide de la condition initiale f(x0 ) = y0 , on définit alors K de manière unique.ÿ¹5