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ÿ Equations dans l'Espace Produit saclaire dans l'espace: u.v= xx'+yy'+zz'  Soit A(xa;ya:za) et B(xb;yb;zb) AB= RC( (xb-xa)^2 + (yb-ya)^2 + (zb-za) ^2) )  Soit n(a;b;c) un veteur normal à un plan Le plan admet alors une équation de la forme ax+by+cz +d = 0  Distance entre un point A et un plan P d(A,P) = |ax(a)+by(a)+cz(a)+d|/(RC(a^2+b^2+c^2))  Représentation paramétrique d'une droite: Soit A(xa;ya;za) Soit u(A,B,C) un vecteur directeur {x=xa + Ak {y=ya +Bk  ,kER {z=za +Ck  Equations de sphère de centre A et rayon R (x -xa)^2 +(y-ya)^2 +(z-za)^2 =R^2   Méthode:  _ Déterminer une équation cartésienne d'un plan: On a besoin d'un poit A et d'un vecteur n. On utilise alors la caractérisation M E P <=> AM.n=0  _Déterminer une équation d'un plan passant par trois points: On chercher un vecteur normal n au plan (ABC). et on résout le systeme : { n.AB=0 { n.AC=0  _Déterminer une représentation paramétrique d'une droite: Chercher les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite, un point passant par cette droite, puis on écrit le système: {x= xa +At {y= ya +Bt  ,tER {z= za +Ct  _Déterminer l'intersection de deux plans: On constitue un sytème avec les équations des deux plans, puis on considère l'une des trois coordonnées (souvent z) comme étant égal au paramètre (t ou k)  _Déterminer l'intersection de deux droites: On constitue un système avec les six équations représantant les deux droites, puis on remplace pour isolé t ou k et ensuite trouvé, si il existe, les coordonnées de ce point.  _Déterminerl'intersection d'une droite et d'un plan: On résout un système avec la représentation paramétrique de la droite et l'équation du plan. A l'aide de l'équation du plan on trouve t, que l'on remplace ensuite dans la droite.   ROC: Démontrer que D(I,P)=|ax(I)+by(I)+cz(I)+d|/(RC(a^2+b^2+c^2))  Soit P: ax+by+cz+d=0 Soit DELTA la droite passant par I et orthogonale au plan P. n(a,b,c) est un vecteur normal au plan P Donc: M(x,y,z)EDELTA  <=>vecteur IM=t* vecteur n    {x-x(I)=at <=>{y_y(I)=bt  ,tER    {z-z(I)=ct Ceci est une représentation paramétrique de DELTA Soit H le point d'intersection de DELTA et P H est un point de DELTA, il existe donc un réel k tel que: vecteurIH=k* vecteur n    {x(H)=x(I)+ak <=>{y(H)=y(I)+bk  ,kER    {z(H)=y(I)+ck H appartient au planP, ses coordonnées vérifient l'équation du plan soit a(x(I)+ak)+b(y(I)+kb)+c(z(I)+kc)+d=0 Donc k(a²+b²+c²)+ax(I)+by(I)+cz(I)+d=0 Et donc k= - [|ax(I)+by(I)+cz(I)+d|]/[a²+b²+c²] IH=|k|*||vecteur n|| = ([|ax(I)+by(I)+cz(I)+d|]/[a²+b²+c²]) * RC(a²+b²+c²) =[|ax(I)+by(I)+cz(I)+d|]/[RC(a²+b²+c²)]  ÿÕv