**TI82** TxtView file generated by CalcText - Kouri™ŠMathsŠˆÿNombres complexesNombres complexes I) L’ENSEMBLE DES NOMBRES COMPLEXES On définit l’existence d’un ensemble noté C dont les éléments, appelés nombres complexes, sont de la forme a+bi, où a et b sont des nombres réels quelconques et i un nombre nouveau. EXEMPLES z1=3+2i, z2=-1-4i sont des nombres complexes Égalité de nombres complexes : a+bi=a’+b’i si et seulement si a=a’ et b=b’. REMARQUE En électronique, le nombre complexe est noté a+bj au lieu de a+bi pour ne pas le confondre avec l’intensité i . II) RÈGLE DE CALCUL DANS C 1. THÉORÈME (ADMIS) On peut définir dans C une addition et une multiplication pour lesquelles les règles de calcul sont que dans IR, avec i²=-1. REMARQUE Le carré de i étant négatif, i n’est pas un nombre réel. 2.EXEMPLE DE CALCUL DANS C Soit les deux nombres complexes z1=3+2i et z2=-1-4i ; on se propose de mettre sous la forme a+bi les nombre complexes z1+z2, z1z2, z1². Somme : z1+z2=(3+2i)+(-1-4i) z1+z2=(3-1)+(2-4)i z1+z2=2-2i. Produit : z1z2=(3+2i)(-1-4i) z1z2=-3-12i-2i-8i² z1z2=-3-14i-8*(-1) z1z2=8-3-14i z1z2=5-14i. Carré : z1²=(3+2i)² z1²=9+12i+4i² z1²=9+12i-4 z1²=5+12i. 3. REMARQUES En effet , tout nombre réel a peut s’écrire a+0i, c’est donc un élément de C. En particulier 0=0 + 0i et 1=1+0i. Pour tout nombre complexes z, les nombres réels a et b tels que z=a+bi sont uniques. Par Définition, a est la partie réelle de z et b est la partie imaginaire de z. Notation : a=Re(z) et b=Im(z) Ainsi, pour z1=3+2i, on a Re(z1)=3 et Im(z1)=2. Un nombre complexes dont la partie réelle est nulle s’écrit z=bi ; il est dit imaginaire pur. En particulier i= 0+1i est un imaginaire pur. Puisque i²=-1, i est une autre solution complexe de cette même équation. On démontre que i et -i sont les seules solutions dans C de cette équation.ÿNh