**TI82** TxtView file generated by CalcText - KouriÖ Ç ExpTBÇ Å ÿEtudFctionExp1.a.On admet qu'il existe 2 réels a et b tel que pr tout reels x , f(x)=(x+a)e^bx . Verifier que pr tout reel x , f'(x)=(bx+ab+1)e^bx . Solution : La fonction f est le produit des fonctions u et v definies sur R par : u(x)=x+a et v(x)=e^bx . On a pour tout reel x , f(x)=u(x)*v(x) La fonction u et v st derivable sur R , f aussi , on a Donc : f(x)=u(x)*v(x) f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) f'(x)=1*e^bx+(x+a)be^bx f'(x)=(bx+ab+1)e^bx -PARTIE B : On considere laintnant la fonction f definie pour tout reel x par : f(x)=(x-2)e^x 1.Donner l'expression de f'(x) pour tout reel x : en deduire le sens de variation de la fonction f sur l'ensembl des reel R . Solution :On a calculé ds la question 2)a. l'expression de f'(x) dans le cas général d'une fction f definie sur R par f(x)=(x+a)e^bx. Pour a=-2 et b=1 on obtient pour tout reel x , f'(x)=(x-1)e^x *SENS DE VARIATION Le sens de variation de f est donné par le signe de la dérivée f'(x) .Or , pour tout réel x , e^x est strictement positif donc le signe de f'(x) sur R est celui de x-1. On a , pr tout reel x : x-1>0 ssi x>1 ; x-1<0 ssi x<1 et x-1=0 ssi x=1. La fonction f est donc strictment decroiss sur ]-inf;1[ et strictmen croiss sur ]1;+inf[. Le tableau de variation de f sur R est : x |-inf 1 +inf f'(x) | - 0 + | | baisse monte | f | -e | 2.a.Limite de f en +inf lim (x-2)= +inf et lim e^x=+inf par limite du produit , lim(x-2)e^x=+inf donc lim f(x)=+inf +inf +inf +inf +inf b. LIMITE de f en -inf Poutout reel x , f(x) = (x-2)e^x = xe^x - 2e^x . D'apres le cour , lim xe^x = 0et lim e^x= 0 d'ou lim(xe^-x - 2e^x) = 0 donc lim f(x)=0 -inf -inf -inf -inf Graphiquement ce resultat indique que : la courbe C representative de la fonction f dans un repere du plan admet une asymptote d'equation y=0 . 3.a.Primitive de f sur R Montrons que la fonction g definie par g(x) = (x-3)e^x est une primitive de f sur R en montrant que pr tout reel x , g'(x)=1*e^x + (x-3)e^x =(x-2)e^x = f(x) la fonction g est bien une primitive de f sur R . 3 3 b. Calcul de S f(x)dx . Soit I= S f(x)dx avec F primitiv de f sur [2;3] 2 2 3 I=[F(x)] = F(3) - F(2) 2 I=0-(-e^2)=e^2 d'ou S f(x)dx = e^2 c. signe de f(x) pour x appartenant a l'intervall [2;3] ; D'apres l'etude des variations de f faite a la quesion 1. de la partie B,la fonction f es strictment croissante sur [1;+inf[ donc sur [2;3] . Or f(2)=0. Donc pour tout reel x de [2;3] x>2 d'ou f(x)>f(2) soit f(x)>0 Sur l'intervalle [2;3] f est positive . d.Valeur de l'aire A en unite d'aire. Soit A l'aire , en unite d'aire , de la partie du plan limiter par les droite d'equation x=2 et x=3 , la courbe C et l'axe des abscisses. La fonction f etant positiv sur [2;3] la courbe C est située au dessus de l'axe des abscisse et l'aire A en unite d'aire est : 3 A= S f(x) dx 2 En utilisant le resulta de la question 3.b , on a : A=e^2 unite d'aire La valeur de l'aire , sous forme decimale arrondie au dixieme , est A=7.4 unite d'aire .ÿˆý