**TI82** TxtView file generated by CalcText - Kouri  math  ÿmathtbs2007 A.résolution d'une equation diff on a l'equation diffe (E)= Y'+710Y=710 ou y est une fonction de la vaiable réelle t, definie et derivable sur [0, +infini[, et y' la fonction dérivée de y 1)determiner les solutions définies sur [0, +infini[ de l'equation diff (E0) y'+710y=0 a(t)=1 b(t)=710 y=Ke^-g(t) G est une primitive de t->b(t)/a(t) g(t)=710/1=710 G(t)=710t y=Ke^-710t y'+710y=0 a=710 y=ke^-at=KE^-710t y'+2y=0 a=2 y=Ke^-2t 2)soit h la fonction definie sur [0, +infini[ par h(t)=1 démontrer que la fonction h est une solution particuliere de l'equation différentielle (E) h(t)=1 il faut verifier que h'+710h=710 h'+710h=710 a+710*1=710 vrai 3)en deduire l'ensemble des solutions de l'equation différentielle y=ss+sp=KE^-710t+1 4)determiner la solution fi de l'equation differentielle (E) qui verifie la condition initiale fi(0)=0 fi(0)=0 => Ke^-710*0+1=0 =>K+1=0 => K=-1 fi(t)=-e^-710t+1 Etude d'une fonction soit fi la fonction définie sur [0, +infini[ par fi(t)=1-e^-710t 1)Montrer que la fonction fi est croissante sur [0, +infini[ [0, +infini[ fi(t)=1-e^-710t fi'(t)=0-(-710.e^-710t) =710.e^-710t>0 donc fi est croissante 2)Démontrer que le developpement limité a l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction fi est fi(t)=710t-((710t)^2/2)+t^2som(t) avec lim t-->0 som(t)=0 fi(t)=1-e^-710t DL2 ou Voisinage(0) e^t=1+t/1!+t^2/2!+t^2som(t) e^-710t=1-710t/1!+((-710t)^2)/2!+t^2som(t) fi=1-(1-710t/1+(-710t)^2/2+t^2som(t)) fi(t)=1-1+710t-(710t)^2/2+t^2som(t) b)en deduire une equation de la tangente T a la courbe C au point d'abscisse 0, ainsi que la position relative de C et T au voisinage de ce point T y=(x-a)f'(a)+f(a) T=y=710T postion relative depend du signe -710t^2/2<0 T est au dessus de c 4) Determiner par le calcul le nombre reel positif alfa tel que fi(alfa)=0,5 donner la valeur exacte de alfa, puis sa valeur approchée arrondie a 10^-5 fi(alfa)=0,5 1-e^-710alfa=0,5 -e^-710alfa=0,5-1 -e^-710alfa=0,5 ln e^-710alfa=ln 0,5 -710alfa=ln 0,5 alfa=ln 0,5/-710 = 9,76 .10^-4 Calcule integrale 1° pour toutréel positif t, on note I(t)=710{0^t x e^-710x dx montrer al'aide d'une integration par parties que : I(t)=-te^-710t - 1/710e^-710t +1/710 pout tout reel positif I(t)= 710{0^t x e^-710x dx {a^b U' V=[UV]{ab - {ab UV' (UV)'=U'V+V'U U'V=(Uv)'- V'U {ab U'V=[UV]ab-{abV'U U'=r^-710x U=(1/-710e).e^-710x e^ax --->primitive (1/a)e^ax V=x V'=1 I(t)=[(-1/710).e^6710x .x]{0T-{0t 1.(-1/710).e^-710x) dx I(t)=(-1/710)e^-710t . t-(0+1/710)[(1/-710)e^-710x]{OT I(t)=[-1/710 e^-710t . t-(1/(710^2)(e^-710t -1)].710 I(t)=-te^-710t - 1/710 e^-710t +1/710 calculer lim t-->+infini I(t) =-te^-710t - (1/710) e^-710t + (1/710) lim t-->+infini I(t)=(1/710) = 0,00140 ÿX8