**TI82** TxtView file generated by CalcText - KouriX IContinuiIGÿContinuitéUne fonction derivable est continue Si f est dérivable en a alors la fonction g définie par g(x) = f (x) - f (a)/ x - a a pour limite f’(a) en a. Donc pour tout x différent de a on a f(x) = f(a) + g(x)(x – a). Puisque lim x->a (x - a) = 0 et lim x->a g(x) = f '(a) , d’après le théorème sur le produit des limites on a lim x->a f (x) = f (a) . La fonction f est donc continue en a. Bijection Démonstration : La fonction f étant définie et continue sur [a ; b], le théorème des valeurs intermédiaires peut s'appliquer et justifie l'existence d'au moins un réel c dans [a ; b] tel que f(c) = k. Supposons que f est strictement croissante sur [a ; b]. Soit x ∈ [a ; b] si x > c, on a f(x) > f(c) donc f(x) > k , donc f(x) ≠ k si x < c, on a f(x) < f(c) donc f(x) < k , donc f(x) ≠ k Donc pour tout x ≠ c , on a f(x) ≠ k L'équation f(x) = k n'a donc pas d'autre solution que c. L'équation f(x) = k a donc c pour solution unique dans [a ; b]. On raisonne de même dans le cas où f est strictement décroissante sur [a ; b]. ÿ·a