**TI82** TxtView file generated by CalcText - Kourit ecomplexeecÿcomplexesAlgebrique z=x+iy z_=x-iy |z|=Vx²+y²=AB Trigonométrique z=r(cos O + isin O) r=|z| et O=arg z cosO=x/|z| et sinO=y/|z| e^i0= cos0+isin0 Exponentielle z=re^iO i=e^ipi/2 affixe de AB= zA-zB norme de AB=|zA-zB| angle de u avec AB=arg(zA-Zb) angle AB avec CD= arg(zD-zC/zB-zA) Propriété |z.z|'= |z|.|z| et arg(z.z')=argz + arg z' |z^n|=|z|^n et arg(z^n)=n*argz |1/z|=1/|z| et arg(1/z) = -argz |z/z'|=|z|/|z'| et arg(z/z') = argz-argz' |z_|=/z/ et arg(z_)=-argz symétrique par rapport à l'axe des réels |-z|=|z| et arg(-z) = pi+argz |z + z |_< |z| + |z'| (inégalité triangulaire) e^0i=1 e^ipi=-1 e^pi/2i=i e^-pi/2i=-i arg(e^io)=O Barycentre g bar de (A;a) et (B;b) coord g (axA+axB/a+b ; aya+byb/a+b) affix g : -> zg=azA+bzB/a+b si delta<0 z1=-b-iV-delta/2a z2=-b+iV-delta/2a Géométrie Isocèle si AC/AB=|zC-zA/zB-zA|=1 Equillatéral AB=AC=BC=V3 ou angle AB,AC=pi/3 Points alignés si angle (AB,AC)=0 ou pi ABC est triangle rectangle en A si angle (AB,AC)=Pi/2 ou -pi/2 transfo Translation par vecteur W (zW) z'=z+zW eq cercle z=w+re^iO avc w centre et r rayon homothetie de centre W affixe zW et de rapport k z'-zW=k(z-zW) rotation de centre W affixe zW et dangle O z'-zW=e^iO (z-zW) soient z et z ' deux nombres complexes non nuls d'écritures trigonométriques: z = p ( cos O + i sinO) et z' = p' ( cosO'+ i sinO') . On a : • Z.z' =r( cosO+ isinO).p'( cosO'+ isinO') = r.r'( cosO+isinO)( cosO'+ isinO') = r.r'( cosO.cosO'+ icosO.sinO'+isinO.cosO'+i²sinOsinO') =p.p'( cosO.cosO'-sinOsinO'+ i( cosO.sinO'+sinO.cosO')) donc: Z.z' = pp'( cos(O+O')+isin( O+O')) d'où |z.z'| =pp' et arg(z.z') = O +O'[2PI] c'est-à-dire: |z.z'| = |z|.|z'| et arg( z.z.') = argz+ arg z'[2PI] • z=z/z' X z' donc [z]=[z/z'Xz'] c'est-à-dire [z]=[z/z']X[z'] d'où [z]/[z']=[z/z'] et argz = arg( z/z'Xz')[2pi] donc argz = arg(z/z')+ arg(z')[2pi] d'où argz -arg( z') = arg(z/z' ) [2pi] zz'=x²+y² zz'=(x+iy)*(x-iy)=x²-(iy)²=x²-i²y² z+z_=2Re(z) z+z_=(x+iy)+(x-iy)=2x=2Re(z) z-z_=2iIm(z) z-z_=x+iy-(x_iy)=2iy=2iIm(z) __z+z'=z_+z'_ z_+_z'=___x+iy+x'+iy=x+x'-i(y+y')=x-iy+x'-iy'=z_+z'_ __zz'=z_z'_ __zz'=___(x+iy)(x'+iy')=____xx'-yy'+i(yx'+y'x) ___1/z=1/z_ z*(1/z)=1 donc ___z*1/z=1_=1 z_*__1/z=1 donc ___1/z=1/z_ |z.z'|= |z|.|z'| |z.z'|²=zz'*__zz' et |z|.|z'|=zz_*z'*z'_=zz'*z'_*z_=zz'*__z*z' |z^n|=|z|^n reccurence |1/z|=1/|z| |1/z|²=1/z * |__1/z|=1/z * 1/|z|=1/(zz_) et (1/|z|)²=1/|z|²= 1/zz_ |z/z'|=|z|/|z'| |z/z'|=|z*1/z'|=|z|*|1/z'|=|z|*1/|z'|=|z|/|z'| arg(z/z')=arg(z)-arg(z') arg(z/z')=arg(z*1/z)=argz+arg(1/z)=argz-argz' Angle(AB,CD)=arg(zD-zc/zb-za) Angle(AB,CD)=(AB,u)+(u,CD) 2pi =-(u,AB)+(u,CD) =(u,CD)-(u,AB) =arg(zd-zc)-arg(zb-za) =arg (zD-zc/zb-za) 2pi AC/AB=|zc-za|/|zb-za|=|zc-za/zb-za| PREUVE ROTATION rotation de r de centre omega(W) et d'angle O Soit m(z) et m'(z') l'image de M par r <=> omégaM'=omégaM et Angle(vecteuromegaM,omegaM')= 0 2pi <=> |z'-w|=|z-w| et arg(z'-w/z-w)=0 2pi <=> |z'-w/z-w|=1 et arg(z'-w/z-w)=0 <=> z'w/z-w=1e^io <=> z'-w=E^io .(z-w) <=> z'=e^io(z-w)+w meme à lenvers soit la rotation complexe décriture z'=e^io .z+b cherchons pts invarient z'=z solution : z=B/1-e^io (car 0differents de 2pi donc e^io n'est pas nul) il y a donc qu un poit invarient : w=b/1-e^io, d'ou par différence membre à membre z'-w=e^io.z+b-e^io.w-b <=> z'-w=e^io(z-w) donc c'est bien lecriture de la tiotion de centre omega(w) et dangle O 1 pi/6 pi/4 pi/3 pi/2 sin 0 1/2 V2/2 V3/2 1 cos 1 V3/2 V2/2 1/2 0 tan 1 V3/2 1 V3 non def ÿÇ…