**TI82** TxtView file generated by CalcText - Kourie VLIMITE SVTÿlimites de suitesl< OU EGAL A l' Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle ]a ; +∞[ telles que : pour tout x de ]a ; +∞[ , f(x) ≤ g(x) et lim x !+oo f (x ) = l et lim x !+oo g (x ) = l ' . Supposons l > l’ . On pose alors h = l - l '/4 et on considère les intervalles disjoints (h a été choisi pour cela) I = ]l-h ; l+h[ et I’ = ]l’-h ; l’+h[. Comme lim x !+oo f (x ) = l , il existe un réel A tel que si x > A , f(x) E]l-h ; l+h[ Comme lim x !+oo g (x ) = l ' , il existe un réel A’ tel que si x > A’ , g(x) E]l’-h ; l’+h[ On a donc pour tout x > max(A ; A’) , g(x) < l’+h < l-h < f(x) et donc g(x) < f(x). Ceci contredit l’hypothèse f(x) ≤ g(x). Notre hypothèse de départ l > l’ est donc absurde. D’où l ≤ l’. Comparaion a l'infini Soient (un) et (vn) deux suites définies pour tout n ≥ n0. Soit a un nombre réel. Comme (un) converge vers +∞, il existe un rang n1, tel que pour tout n ≥ n1 , un > a. De plus pour tout n ≥ n0 , un ≤ vn Considérons n2 = max(n1 ; n0). Alors pour tout n ≥ n2 , vn ≥ un > a et donc vn > a Ceci étant vrai pour tout réel a, on a lim vn = +oo n!+oo Gendarmes Soient trois fonctions f, g et h définies sur un intervalle ]a ; +∞[ telles que pour tout x de ]a ; +∞[ , g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) et lim x !+oo g (x ) = lim x !+oo h(x ) = l , Soit h un nombre réel. Comme lim x !+oo g (x ) = lim x !+oo h(x ) = l , il existe deux réel A et A’ tels que si x > A alors f(x) E ]l - h;l + h [ et si x > A’ alors g(x) ]l - h;l + h [ . Considérons le réel B = max(a,A,A’) alors si x > B on l-h < g(x) < f(x) < h(x) < l+h Donc il existe un réel B tel que si x > B alors f(x) E ]l - h;l + h [ Ceci étant vrai pour n’importe quel réel h, par définition lim x !+oo f (x ) = l ÿ0