**TI82** TxtView file generated by CalcText - Kouri× Èeq diffÈÆÿequation différentielley'=ay solution Ce^ax Démonstration: • Soit f(x)=Cexp(ax) avec C est un réel f'(x)= Ca*exp(ax)= a*Cexp(ax)= af(x) donc y'=ay • toutes de cette forme? g(x)= ln(x) / exp(ax) où ln est solution de Eo (y'=ay) g(x)= ln(x)exp(-ax) g'(x)=ln'(x)exp(-ax)+ln(x)*(-a)exp(-ax) = exp(-ax)(ln'(x)-aln(x)) [..............] = 0 car ln solution de Eo ainsi g'(x) étant nulle g(x)=C h(x)/(exp(ax)=C h(x)=Cexp(ax) y'=ay+b solution Ce^ax - b/a Démonstration: • Soit f(x)=Cexp(ax)-b/a avec C un réel f'(x)=Ca*exp(ax) a*f(x)+b=ax(Cexp(ax)-b/a)+b=aCexp(ax)=f'(x) donc f solution de E • toutes de cette forme? h(x)=g'(x)+b/A et g(x) une solution de E h'(x)=g'(x)=ag(x)+b (car g solution de E) =a(g(x)+b/a)=a(h(x)) h solution de lequ diff ay=y' or ttes solution s'écries Cexp(ax)=h(x) ainsi g(x)=h(x)-b/a=Cexp(ax)-b/a La fonction constante g: x-> - b/a est une solution particulière de y'= ay+b (1) en effet g une fonction cste donc der sur R et pour x E R g'(x)=0 ag(x)+b=a.(-b/a)+b=-b+b=0 donc g est bien sol de y'=ay+b soit f une fonction dérivable sur R. Montrons que: f est solution de (1) si et seulement si f-g est solution de (2) : y' = ay On a: f solution de (1) si et seulement si f' (x) = af (x) +b pour tout réel x c'est-à-dire f'( X ) - af (x ) = b pour tout réel x ou encore f'(X )-af( x) = g'f(X )-ag(x), pour tout réel x, (car g solution de (1)) ce qui équivaut à f'(x)- g'(x)= a(f(x)- g(x)) pour tout réel x, c'est-à-dire (f - g)' = a(f - g) ce qui signifie que f-g est solution de (2) : y' = ay Les fonctions fk solutions de (1) sont donc telles que fk(x ) - g (x) = ke^ax pour tout réel x, où k désigne un réel; c'est-à-dire telles que: fk(x) = ke^ax-b/a • Réciproquement, soit f une fonction dérivable sur R, solution de y' = ay. On a alors: f' = af Soit g la fonction définie sur R par g (x ) = f ( x ).e^-ax g est le produit de deux fonctions dérivables sur R donc elle est dérivable sur R et pour tout réel x : g'(x)=f'(x).e^-ax + f(x).(-ae^-ax) = afx.e^-ax-afx.e^-ax=0 car f'=f g est cste sur R dc il existee k E R tq fx=ke^ax pour tt reel x les sol de y'=ay sont les fonction fk def sur R par fk=ke^ax avc k E R OU ÿ Å