**TI82** TxtView file generated by CalcText - Kourib Sdemo2SQÿdeémo maths #ILimite de exp(x)/x en +¾#I Pour la deuxième limite, utilisons à nouveau le théorème de comparaison : on a prouvé ci-dessus que pour tout réel X, e#1#EX#E#2>X. Soit x un réel quelconque; écrivons l'inégalité précédente pour X=x/2 : &E–^(x/2)>x/2 Si en plus, on suppose x positif, les deux membres de l'inégalité précédente seront positifs et ils seront rangés dans le même ordre que leurs carrés ; d'où : quelque soit xž0, &E(–^(x/2))^2>(x/2)^2 Il en découle que quelque soit xž0, &E(e^x)>(x/4) Donc: &E(e^(x)/x)>(x/4) On peut maintenant conclure par le théorème de comparaison : &Elim((x/4),x,¾) =+¾ donc &Elim((–^x)/x,x,¾) =+¾ #ILimite de exp(x) en -¾#I #1Le y doit être remplacé par un grand X #2 Les deux limites suivantes s'obtiennent à l'aide du théorème de composition : Posons y=-x. Alors &Ee^x=e^(­y) = &E1/e^(y) Or &Elim(­x,x,­¾) =+¾ &Elim(1/e^(y),y,¾) =0 car &Elim(e^y,y,¾) =+¾ donc par composition &Elim(e^x,x,­¾) =0 #ILimite de x*exp(x) en -¾#I #1Le y doit être remplacé par un grand X #2 De même &Exe^x = &E­y*e^(­y)=­y/e^y Or lim(-x,x,-¾)=+¾ et &Elim(­(y/e^(­y)),y,¾) = &Elim(­(1/((e^y)/y)),y,¾) =0 car &Elim((e^y)/y,y,¾) =+¾ donc par composition &Elim(x*e^x,x,­¾) =0 #I#1Existence et unicité de la solution de y'=ay+b avec condition initiale#2#I -Soit c un réel quelconque et f la fonction définie sur R par &Ef(x)=c*e^(a*x)-b/a Démontrons que f est solution de l'équation y'=ay+b. La fonction f est dérivable sur R et pour tout réel x, &Ef'(x)=a*c*e^(ax) Or : quelque soit x qui appartient à R &Ea*f(x)+b = &Ea*(c*e^(ax)-b/a)+b = &Ef'(x) Donc : &Ea*f(x)+b=f'(x) Ce qui signifie que f(x) est solution de l'équation différentielle y'=ay+b. -Inversement, soit f une solution de l'équation différentielle y'=ay+b. Introduisons la fonction g définie par : &Eg(x)=f(x)+b/a g est dérivable sur R et pour tout réel x, g'(x)=f'(x). Or &Ea*g(x)=a*(f(x)+b/a) = &Ea*f'(x) puisque f est solution de l'équation y'=ay+b. Donc pour tout réel x, ag(x)=g'(x). Donc g est solution de l'équation différentielle : y'=ay. Par conséquent, il existe un réel c tel que pour tout réel x, &Eg(x)=c*e^(a*x) Alors, f(x)= &Eg(x)-b/a=c*e^(a*x)-(b/a) pour tout réel x. #ILimite en ln(x) en +¾#I #1Pour démontrer que lim(ln(x),x,¾), il suffit de prouver que ln(x) peut dépasser n'importe quel réel, pour x suffisamment grand. Soit donc un réel A quelconque, alors#2 ln(x)>A <=> e#1#Eln(x)#E#2>e#1#EA#E#2 <=> x>A Ceci prouve qu'en prenant x plus grand que M=e#1#EA#E#2, on aura l'assurance que ln(x)>A. D'où lim(ln(x),x,¾)=+¾ #ILimite de ln(x)/x en -¾#I #1Le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers +¾, donc il s'agit d'une forme indéterminée. Mais lors de la démonstration de la continuité de f, on a prouvé que pour tout réel a strictement positif ln(a)œa-1. On en déduit que quelque soit a>0, ln(a)0, &Eln(¨(a))<¨(x) Or pour tout x>0, &Eln(¨(x))<¨(x) <=> &Eln(x)<2¨(x) <=> &Eln(x)/x<(2¨(x))/x <=> &Eln(x)/x<2/¨(x) et pour tout x>1, on a donc 0< &Eln(x)/x<2/¨(x) Mais &Elim(2/¨(x),x,¾)=0 donc d'après le théorème des gendarmes, &Elim(ln(x)/x,x,¾)=0 #ILimite de ln(x) en 0#1#E+#E#I #1Le y doit être remplacé par un grand X et les limites en 0 sont toutes en 0#E+#E#2. On utilise le théorème de composition en posant &Ey=1/x Alors pour tout x>0 &Ex=1/y et ln(x)= &Eln(1/y) = &E­ln(y) Or &Elim(1/x,x,0) =+¾ lim(-ln(y),y,¾)=-¾ donc par composition lim(ln(x),x,0#1#E+#E#2)=-¾ ÿ[É