**TI82** TxtView file generated by CalcText - Kouri^ OproscalOMÿproduit scalaire VECTEUR u.v=1/2(||u+v||²-||v||²-||vv||²) VECTEUR u.v=||v||.||v||.cos(u,v) exp analytique u(x y) v(x' y') dc u.v=xx'+yy' OA=vU et OB=vV vecteur u.v= |OA|.|OB| si ils sont colinéraire de mm sens et = -|OA|.|OB| si ils sont de sens contraires vab.vac= ab.ac.cos bac vab.vac>0 bac angle aigu vu²||v||² si vu(x;y) a(xa;ya) b(xb;yb) alr ||v||=Vx²+y² ab=V(xb-xa)²+(yb-ya)² DISTANCE POINT ET UNE DROITE pt A(xa,ya) et droit dequation Ax+By+C=0 Am= |Axa+Bxb+c|/V(A²+B²) THEOREME MEDIANE si i mileu de ab ma²+mb²=2mi²+1/2ab² EQUATION CERCLE Q(xq,yq) centre R²=(x-xq)²+(y-yq)² cercle de diamètre AB et lensemble des points M tel que Ma.mB=0 PLAN vecteur u.v=xx'+yy'+zz' ||u||=Vx²+y²+z² AB=V(xb-xa)²+(yb-ya)²+(zb-za)² un plan de vecteur n(A,B,C) a pr equation Ax+By+Cz+D=0 distance a(xa,ya,za) au plan b d(A,P)= [Axa+Bya+Cza+D]/VA²+B²+C² demi espace p plan deq ax+by+cz+d=0 lens e1 des pts m(x;y;z)tq ax+by+cz+d>0 est un d demi espace ouvert de frontiere p lens e2 des pts m(x;y;z)tq ax+by+cz+d<0 est un d demi espace ouvert de frontiere p Sphère de centre Oméga et de rayon R le point M(x,y,z) appartient à S ssi omégaM=R S est lensemble des poits M tels que : R²=(x-xomega)²+(y-yomega)²+(z-zomega)² barycentre soit (A,a) (B,b) et (C,c) tq a+b+c diff 0 G bar tq avGA+bvGB+cvGC=0 Propriété homogeneité pour kdiff 0 G bar ( A,ka) B,kb) (C,kc) Propriété de reduction g bar (A,a) (B,b) et (C,c) alr pour tt M du plan avMA+bvMB+cvMC=(a+b+c)vMG Propritété du baricentre de 2 points A et B: il appartien à la droite AB et pour le construire : vAG=b/a+b . VAB coordoné bar A(xa,ya,za) B(xb...) C(xc..) le bar G de (A,a) (B,b) et (C,c) a pour coordoné xg=axa+bxb+cxc/a+b+c yg=... associativité g bar (A,a) (B,b) et (C,c) avc a+b+c diff 0 et si H bar (A,a) (B,b) avc a+b diff 0 alr g bar de (H,a+b) et (C,c) vAG=b/a+b VAB 1. (translation) M a pour image M’ dans la translation de vecteur u si MM'=u <=> z'-z=u <=> z'=z+u.  car deux vecteurs sont égaux ssi leurs affixes sont égales. 2. (homothétie) M a pour image M’ par cette homothétie ssi QM=kQM' <=> z'-w=k(z-w)  car deux vecteurs sont égaux ssi leurs affixes sont égales. 3. (rotation) M a pour image M’ par cette rotation ssi {(QM;QM')=., QM=QM' <=> {(QM;QM')=., QM'/QM=1 <=> {arg(z'-w/z-w)=., mod(z'-w/z-w)=1. Posons alors Z=z'-w/z-w: Z est un complexe de module 1 et d’argument q donc Z=exp(i.) . Ainsi on a z'-w/z-w=exp(i.) <=>z'-w=exp(i.)(z-w) DROITES/PLANS... 1. (eq cartesienne) (P) le plan passant par A(xa;ya;za) et de vecteur normal n(a;b;c). Par définition M(x;y;z) appartient au plan ssi AM(x-xa;y-ya;z_za). n(a;b;c)=0  : posons alors d=-axa-bya-cza. On obtient M(x;y;z) appartient au plan ssi ax+by+cz+d=0. 2. (eq param) Par définition, un point M(x;y;z) est sur (D) ssi AM et u soient colinéaires donc ssi il existe un réel t tel que AM=tu. . Comme deux vecteurs sont égaux ssi leurs coordonnées sont égales, M(x;y;z) est sur (D) ssi il existe un réel t tel que {x-xa=at, y-ya=bt, z-za=ct <=> {x=at+xa, y=bt+ya, z=ct+za. 3. (dist point-plan) Soit A(xa;ya;za) un point de l’espace, P le plan d’équation ax+by+cz+d=0 : notons H le projeté orthogonal de A sur P. Il faut donc calculer la distance AH. Calculons le produit scalaire AH.n de 2 manières différentes. (1) AH.n= a(xh-xa)+b(yh-ya)+c(zh-za)= axh+byh+czh-axa-bxa-cza. Mais H est par définition dans le plan (P) donc on a axh+byh+czh=-d et finalement AH.n= -axa-bya-cza-d. (2) Le vecteur n est normal à P donc par définition de H, AH est colinéaire à n. Alors AH.n= ±//AH//.//n//= ±AH*(racine)a²+b²+c². Par identification de ces 2 expressions, AH=(/axa+bya+cza+d/)/(racine)a²+b²+c²) (les valeurs absolues apparaissent pour assurer que AH est positif). ÿïÎ