**TI82** TxtView file generated by CalcText - Kouriÿ ðCONDITIOðîÿMaths1.2) Définition de la probabilité conditionnelle Définition : Soit Ω un ensemble fini et P une loi de probabilité sur l'univers Ω liée à une expérience aléatoire. Soit A et B deux événements de Ω tels que P(B)≠0 . On définit la probabilité que « A soit réalisé sachant que B est réalisé » de la manière suivante : PB(A)=P(A∩B)P(B) où PB(A) se lit « P-B-de-A » Conséquences immédiates : Soit A et B deux événements de Ω tels que P(B)≠0 . 1) On peut écrire toutes les probabilités comme des probabilités conditionnelles. P(Ω)=1 . Donc pour tout événement A : P(A)=PΩ(A) . 2) PB(B)=1 ; PB(Ω)=1 ; PB(∅)=0 . 3) L'événement contraire de « A est réalisé sachant que B est réalisé » est « A est réalisé sachant que B est réalisé ». En effet, B=(B∩A-)∪(B∩A) : PB(A-)+PB(A)=1 ou encore PB(A-)=1−PB(A) 4) Si A et C sont deux événements quelconques, on peut étendre la formule vue en Seconde aux probabilités conditionnelles : PB(A∪C)=PB(A)+PB(C)−PB(A∩C) 5) Si A et C sont deux événements incompatibles, on a : PB(A∪C)=PB(A)+PB(C) Conséquence très importante : (en écrivant l'égalité des produits en croix) : Pour tous événements A et B de Ω tels que P(B)≠0 , on obtient la formule des probabilités composées : P(A∩B)=PB(A)×P(B) II. Partition de l'univers Définition : Soit Ω un ensemble fini et B1, B2,..., Bn (n>=2) une famille d'événements de Ω . On dit que les B1, B2,..., Bn, (n>=2) forment ou réalisent une partition ou un système complet d'événements de Ω si et seulement si les conditions suivantes sont satisfaites : 1) Tous les Bi sont non vides, c'est-à-dire : Bi≠∅ pour tout i ; (cette condition n'est pas toujours vérifiée dans certaines démonstrations) ; 2) Ces événements sont deux à deux incompatibles, c'est-à-dire : pour tout i (1<=i<=n) et tout j (1<=j<=n) [ i≠j⇒ Bi∩Bj=∅ ] ; 3) La réunion de tous ces événements est égale à Ω ; c'est-à-dire : B1∪B2∪⋯∪Bn=Ω . Théorème 1. : Soit Ω un ensemble fini et B1, B2,..., Bn (n⩾2) une partition de Ω . Soit A un événement quelconque de Ω . Alors P(A)=P(A∩B1)+P(A∩B2)+⋯+P(A∩Bn) P(A)=PB1(A)×P(B1)+PB2(A)×P(B2)+⋯+PBn(A)×P(Bn) qu'on peut encore écrire : P(A)=n∑i=1 PBi(A)×P(Bi) Démonstration Soit A un événement quelconque de Ω . Alors A∩B1, A∩B2,…, A∩Bn forment une partition de A. Ces n événements ne sont pas tous (forcément) non vides ; auquel cas, on peut supprimer les Bk pour lesquels A∩Bk=∅ , c'est-à-dire P(A∩Bk)=0 . Ces n événements sont deux à deux incompatibles et leur réunion est égale à A. Par conséquent, A=(A∩B1)∪(A∩B2)∪…∪(A∩Bn ) Donc P(A)=P((A∩B1)∪(A∩B2)∪…∪(A∩Bn)) Donc P(A)=P(A∩B1)+P(A∩B2)+⋯+P(A∩Bn) Comme pour tout i (1<=i<=n) : P(A∩Bi)=PBi(A)×P(Bi) on obtient : P(A)=PB1(A)×P(B1)+PB2(A)×P(B2)+⋯+PBn(A)×P(Bn) IV. Indépendance de deux événements Définition : Soit Ω un ensemble fini et A et B événements de Ω . On dit que les deux événements A et B sont indépendants si et seulement si P(A∩B)=P(A)×P(B) Théorème : Soit Ω un ensemble fini et A et B événements indépendants de Ω . Alors 1°) A et B sont indépendants. 2°) A et B sont indépendants. 3°) A et B sont indépendants. Démonstration (ROC) Soit A et B deux événements indépendants de Ω . 1°) On sait que A et A- forment une partition de Ω . Donc : B=(B∩A)∪(B∩A-) Les deux événements (B∩A) et (B∩A-) étant incompatibles, nous avons : P(B)=P(B∩A)+P(B∩A-) . Ce qui donne : P(B∩A-)=P(B)−P(B∩A) Or, les deux événements A et B sont indépendants, donc P(A∩B)=P(A)×P(B) Donc : P(B∩A)=P(B)-P(A)×P(B) En mettant P(B) en facteur, on obtient : P(B∩A-)=P(B)(1−P(A)) Ce qui donne P(B∩A-)=P(B)×P(A-) Ce qui signifie que les deux événements A- et B sont indépendants. CQFD 2°) et 3°) sont des conséquences immédiates du 1°) ÿr@