**TI82** TxtView file generated by CalcText - Kouri&&CCF1MATH& &ÿccf mathsChap 01: PROPORTIONS ET POURCENTAGES calculer une proportion -> dans une classe de 32 élèves, il y a 8 filles -> 8/32 appliquer une proportion -> un voyagiste proposte 20% de réduc sur un voyage de 860 -> 860*20/100 calculer un effectif total -> dans une entreprise, 98 commerciaux représentent 35% des salariés -> 98*100/35 proportion d'une proportion -> dans la classe, 50% des éléves sont des filles, et 25% des fiilles sont internes, la part des filles internes est -> 0.50*0.25= 0.125->12.5% réduction de 30% -> 1-30/100 augmentation de 50% 1+50/100 un produit coûte 135€ après une taxe de 20%. Quel était son prix HT? -> *1+20/100= 135€ -> /1+20/100= 112.5€ taux d'évolution -> de 2008 à 2018, le SMIC horaire brut est passé de 8.71€ à 9.88€. Quel est le taux d'évolution? -> VF-VI/VI*100 -> 9.88-8.71/8.71*100 indice base 100 -> le nbre de logements en résidence principale est passé de 26353 en 2005 à 29330 en 2017. L'indice base 100 en 2017 est -> 29330*100/26353= 111.3 -> 11.3% taux évolution à plusieurs évolutions successives -> un article augmente de 10%,20% et baisse de 10%. Quel est le taux d'évolution? 1.1*1.2*0.9= 1.188-1= 0.188*100= 18.8 taux d'évolution réciproque -> une action boursière a baissé de 20%. Quelle doit être son évolution pour revenir à son cours précédent? -> 1-20/100= 0.8 CM' 1/CM -> 1/0.8= 1.25-1= 0.25*100= 25% taux moyen -> 3 évolutions qui font *0.89 -> on cherche tm= (1+tm/100)^3= 0.89 -> 1+tm/100= 0.83RACINE TROISIEME -> 1+tm/100= 0.9619 -> tm= -3.81% SI IL Y A 4 EVOLUTIONS 1/4, 5 EVOLUTIONS 1/5. Chap 03: LES SUITES NUMERIQUES suite de manière explicite -> un= 7n+4 -> u2= 7*2+4= 18 -> u4= 7*4+4= 32 suite par récurrence -> u0=1 un+1= 2un+1 -> u1= 2u0-1= 1 -> u2= 2u1-1= 1 u3= 2u2-1= 1 SUITES ARITHMETIQUES -> un+1= un+r exemple de suite arithmétique -> un= 2n-3 -> u0= 20-3= -3 -> u1= -1 -> u2= 1 -> u3= 3 LA SUITE SEMBLE ARITHMETIQUE DE RAISON 2. méthode pour calculer le nième terme d'une suite arithmétique -> un= u0+nr -> un= u1+(n-1)r méthode pour calculer la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique -> n+1/2*(u0+un) SUITES GEOMETRIQUES -> un+1= qun exemple de suite géométrique -> un= 3^n -> u0= 3^0=1 -> u1= 3^1= 3 -> u2= 3^2= 9 u3= 3^3= 27 LA SUITE SEMBLE GEOMETRIQUE méthode pour calculer le nième terme d'une suite géométrique -> un= qn u0 -> un= q^n-1 u1 méthode pour calculer la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique -> 1er*1-q^nbre de termes/1-q MATHEMATIQUES FINANCIERES INTERETS SIMPLES -> florien crée son entreprise d'objets en alu. Pour les prototypes, il a besoin d'une imprimante 3D. Pour réaliser cet achat, il a placé 6000€ en janvier sur un compte à terme, au taux mensuel de 1%, durant 5 mois Tous les mois, les intérêts acquis sont: 6000*1/100= 60 Au bout de 5 mois le capotal acquis est de: C5= 6000+5*60= 6300 La SUITE est ARITHMETIQUE de raison 60 et de premier terme 6000 Le capital acquis au bout de n mois est de Cn= 6000+n*60 TAUX PROPORTIONNEL -> taux périodique proportionnel= taux nominal*période/période de référence exemple -> taux proportionnel sur une période de 15jrs d'un taux nominal de 10% annuel -> 0.1*15/365= 0.004= 0.4% taux proportionnel mensuel d'un taux nominal annuel de 5.1% -> 0.051*1/12= 0.00425= 0.425% INTERETS COMPOSES -> afin de financer ses futurs brevets, florian place 5000€ sur un compte au taux annuel de 4% à la 1ère année de placement, les intérêts sont de 5000*4/100= 200, les intérêts s'ajoutent au capital, qui est alors k1= 5000+200= 5200 à la fin de la 2ème année, l'intérêt est 5200*0.04= 208 et k2= 5200+208= 5408€ La SUITE est GEOMETRIQUE de raison 1.04 et de premier terme 5000 au bout de 6 ans k6= 5000*(1.04)^6= 6326.60€ VALEUR ACTUELLE -> florian sait que dans 3 ans, il lui faudra 75000€ pour acheter un local. Auprès d'un ami, il trouve un financement au taux annuel de 8% on a alors VA*1.08^3= 75000 -> VA= 75000/1.08^3= 75000*1.08^-3= 59537.42€ exemple -> j'aurais besoin de 12000€ pour restaurer la toiture de ma maison dans 5 ans Quel capital doit-je placer auj sur mon plan d'épargne logements rémunéré a 2.5% l'an pour disposer de cette somme dans 5 ans? VA(1.025)^5= 12000 VA= 12000*1.025^-5= 10606.25€ VALEUR ACQUISE D'UNE SUITE D'ANNUITES -> pour financer son local, florian choisit de payer 24000€ par an, 3 fois de suite au taux annuel de 5%. Il désire savoir si la valeur acquise totale lui permettra de payer 75000€ pour son local la 1ère annuité a une valeur acquise de 24000*1.05^2 la 2ème annuité a une valeur acquise de 24000*1.05 la 3ème annuité a une valeur acquise de 24000 La valeur acquise totale est alors: V= 24000(1+1.05+1.05^2)= 24000*1-1.05^3/1-1.05= 75660€ CHAP 04: LES STATISTIQUES DESCRIPTIVES tableau avec valeurs -> STAT -> EDIT -> 1 REMPLIR TABLEAU -> STAT -> CALC -> 1 -> XLISTE -> L1 SI IL Y A UNE L2 -> LISTEFREQ -> L2 dispersion par rapport à la moyenne ( écart-type) -> [ X-O;X+O ] dispersion par rapport à la médiane ( Q1;Q3 ) REPRESENTATION D'UNE SERIE STAT A UNE VARIABLE -> AXE GRADUE -> les deux extrémités sont [ X-O;X+O ] DIAGRAMME EN BOITE -> prendre la plus petite et la plus grande valeur du tableau et faire apparaitre Q1, Q3? MEDIANE, MOYENNE HISTOGRAMME -> CLASSE -> [ 120;200 ]= CENTRE= 160 (120+200/2) POINT MOYEN -> G(x;y) prendre moyenne de la série x et la moyenne de la série y AJUSTEMENT DE Y EN X -> AJUSTELMENT AFFINE= ALIGNEMENT DES POINTS -> il permet de faire des estimations -> INTERPOLATION ( dans l'intervalle ), EXTRAPOLATION ( à l'exterieur ) AJUSTEMENT AFFINE PAR LA METHODE DES MOIDRES CARRES -> droite de régression -> STATS -> CALC -> 4: REGLIN exemple -> y=2.31x-18.04 -> si x=200 y= 462-18.04= 443.96 ( 200;443.96 ) COEFF DE CORRELATION LINEAIRE -> c'est un nbre compris entre -1 et 1 ( -0.98 et 0.98 -> MEILLEUR ) un ajustement affine n'est pas judicieux quand les points ne sont pas alignés CHAP 05: LES FONTIONS DE REFERENCE droite d'équation y= ax+b -> a= coeff directeur b= ordonnée a l'origine exemple -> représenter les fcts suivantes dans les repères proposés -> f(x)= x+2 x= 0 2 y= 2 4 -> 0+2= 2 -> 2+2= 4 Si a positif la droite monte, si a négatif la droite descend DETERMINATION D'UNE FCT AFFINE -> f(x1)-f(x2)/x1-x2 exemple -> un artisan fabrique des toupies. Le coût de fabrication est de 288€ pour 120 toupies et 345€ pour 150 toupies. On estime que le coût est une fct affine f de la quantité on a donc f(x)=ax+b x= 120 150 y= 288 345 on a donc= (288-345)/(120-150)= 57/30= 1.9 f(x)= 1.9x+b l'accroissement moyen et donc de 1.9€ par toupie or f(120)= 288 donc 1.9*120+b= 288 -> 228+b= 288 -> b= 288-228= 60 f(x)= 1.9x+60 LES FCTS POLYNOMES DU 2ND DEG -> f'(x)=2ax+b exemple -> f(x)= -3x²+2x+5 -> f'(x)= 2x-3x+2= -6x+2 LA REPRESENTATION D'UNE FCT DU 2ND DEG EST UNE PARABOLE, ET SON ALLURE DEPEND DU COEFF A SI A>0 flèche (descend) flèche (monte) SI A<0 flèche (monte) flèche (descend) exemple -> pour tout prix x de 3 à 5€ le kg de fromage fondu, la qté offerte par les producteurs est modélisée par la fct f telle que f(x)= 2x²-12x+19. Et la quantité demandée par les distributeurs est modélisée par g(x)= -0.5x²+2x+3 les qté st en tonnes étudier: l'offre -> f(x)= 2x²-12x+19 -> f'(x)= 2*2x-12*1+19 -> 4x-12 -> 4x+12=0 -> 4x=12 -> x=3 tableau de variation -> x 3 5 f'(x) - 0 + f(x) flèche descend 1 flèche monte 9 f(3)= 2*9-12*3+19)= 1 f(5)= 2*25-12*5+19= 9 étudier: la demande -> g(x)= -0.5x²+2x+3 -> g'(x)= -x+2 -> -x+2=0 -> x= 2 tableau de variation -> x 2 3 5 g'(x) + 0 - g(x) 4.5 flèche monte 5 flèche descend 0.5 g(3)= -0.5*9+6+3= 4.5 g(2)= -0.5*4+4+3= 5 g(5)= -0.5*25+10+3= 0.5 FORMULES: b²-4ac -> delta>0 = 2 solutions -> x1: b- -> x2: b+ -> S{x1;x2} delta=0 = 1 solution -> a= -b/2a S{a} delta<0 = 0 solution -> S{0} FONCTION LOGARITHME NEPERIEN ln(x) si x>1 alors ln(x) est >0 si 0 ln(10)= ln(5*2)= ln(5)+ln(2) ln(a/b)= ln(a)-ln(b) ln(a^b)= bln(a) -> ln(1000)= ln(10^3)= 3ln(10) exemple -> un capital de 1000€ augmente chaque mois de 3%. Donc tous les mois il est multiplié par 1.03 au bout de n mois il est multiplié par 1.03^n on cherche le nbre n de mois de placement pour que ce capital double. On veut donc résoudre: 1000*1.03^n = 2000 1.03^n = 2000/1000 1.03^n = 2 ln1.03^n = ln2 nln1.03 = ln2 n= ln2/ln1.03= 23.45 -> dc 24 mois FONCTION EXPONENTIELLE (e^x) ln(e^x)= x -> ln(e^3)= 3 e^0= 1 FORMULES: e^a+b= e^ae^b ln(e^x)= x, si x>0 e^ln(x)= x l'équation ln(x)= k a pour seule solution x= e^k l'équation e^x= k avec k>0 a pour seule solution x= ln(k) exemple -> dans un pays, 20% des ménages n'ont pas de véhicule et la répartition du parc motorisé est modélisée par la fct f telle que f(x)= 0.668e^x-0.816 pour x>0.2 où f(x) est la proportion du parc motorisé détenue par la proportion x des ménages du pays f(0.5) signifie que 50% des ménages ont 28.5% du parc (graphique) si on cherche la proportion des ménages possédant 80% du parc: on résoud: f(x)= 0.8 0.668e^x-0.816 = 0.8 0.668e^x = 0.8+0.816 0.668e^x = 1.616 e^x = 2.419 lne^x = ln2.419 x= ln2.419 x= 0.883 donc 88.3% des ménages possèdent 80% du parcÿ&<