**TI82** TxtView file generated by CalcText - Kourir cS monotocaÿSuites monotonesSuites adjacentes convergent vers la meme limite Soient (un) et (vn) deux suites adjacentes. Démontrons que pour tout n E N , vn ≥ un. Considérons un entier n quelconque, comme (un) est croissante et (vn) est décroissante, pour tout p ≥ n on a : un ≤ up et vn ≥ vp d’où vn – un ≥ vp – up. Ceci étant vrai pour tout p, à la limite on a vn-un> ou egal lim p->+oo vp-up donc vn-un> ou egal o pour n’importe quel entier n. C’est à dire, pour tout n, vn ≥ un . La suite (un) étant croissante, pour tout n, un ≥ u0 et donc vn ≥ un ≥ u0. La suite (vn) est décroissante et minorée par u0 donc elle converge. De même la suite (vn) étant décroissante, pour tout n, vn ≤ v0 et donc un ≤ vn ≤ v0. La suite (un) est croissante et majorée par v0 donc elle converge. Soit l = lim n!+oo un et l ' = lim n!+oo vn alors lim n!+oo un-vn= l - l ' = 0 donc l = l’. Les suites (un) et (vn) convergent vers la même limite. Si un converge alors elle est bornée Soit (un) une suite convergente et l sa limite. Notons I = ]l-1 ; l+1[ l’intervalle ouvert centré en l. Alors il existe un rang N tel que si n ≥ N , un E I Si N = 0 c’est terminé (un) est bornée par l-1 et l+1. Sinon, soit A = { u0 ; u1 ; … ; uN ; l-1 ; l+1}. A est un ensemble fini il existe donc un plus petit élément m et un plus grand élément M et pour tout n, m ≤ un ≤ M. Donc (un) est bornée. UNE SUITE CROISSANTE NON MAJOREE A POUR LIMITE +oo Soit (un) une suite non majorée, alors pour tout réel positif M il existe un rang k tel que uk > M. Mais comme (un) est croissante, on montre facilement que pour tout n > k , un > uk > M. Les termes de la suite sont donc aussi grands que l’on veut à partir d’un certain rang, ce qui est la définition de lim un=+oo n!+oo ÿmd