**TI82** TxtView file generated by CalcText - Kouriù êZPSCALêè˙Preuves produit scalairePreuve norm(vu)=R(x^2+y^2) Soit (O;I;J) un repere orthonorme et vu(x y) Soit M un point tel que vOM = vu J'ai M(x;y). Le triangle OHM est rectangle en H. D'apres le theoreme de pythagore OM^2=OH^2+HM^2 <=>OM^2=x^2+y^2 <=>OM=R(x^2+y^2) Preuve norm(lambda*vu)=abs(lambda)*norm(vu) Soit vu(x y). On a Lvu(Lx Ly) norm(Lvu) = R((Lx)^2+(Ly)^2) =R(L^2x^2+L^2y^2) =R(L^2(x^2+y^2)) =R(L^2) * V(x^2 y^2) =norm(L)*norm(vu) Preuve: vu.vv=vv.vu vv.vu=1/2(norm(vv)^2+norm(vu)^2-norm(vu - vv)^2) Or vu-vv =-(vv-vu) d'ou norm(vu-vv)=norm((-1)*(vv - vu)) =abs(-1)*norm(vv-vu)=(vv - vu) d'ou vv.vu=vu . vv Preuve: v0.vu=0 v0.vu=1/2(norm(v0)^2+norm(vu)^2-norm(vu-v0)^2) =1/2(0^2+norm(vu)^2-norm(vu)^2)=0 Preuve: vu.vu=norm(vu)^2 vu.vu=1/2(norm(vu)^2+norm(vu)^2-norm(vu-vu)^2)=1/2(2xnorm(vu)^2-0)=norm(vu)^2=norm(vu)*norm(vu) Preuve: vuTvv<=>vu.vv=0 Montrons que si vAB.vAC=0 alors vAB est perpendiculaire a vAC On a vAB.vAC=1/2(norm(vAB)^2+norm(vAC)^2-norm(vBC)^2)=0 <=>norm(vAB)^2+norm(vAC)^2-norm(vBC)^2=0 <=> norm(vAB)^2+norm(vAC)^2=norm(vBC)^2 D'apres la reciproque du theoreme de pythagore, ABC est rectangle en A donc (AB)perpendiculaire(AC) et ABC est rectangle en A. Si vABTvAC alors (AB)T(AC) et ABC est un triangle rectangle en A. D'après pythagore AB^2+AC^2=BC^2 <=> AB^2+AC^2-BC^2=0 <=>1/2(norm(vAB)^2+norm(vAC)^2-norm(vBC)^2)=0 <=> vAB.vAC=0 Preuve: vu.vv=xx'+yy' Soit vu(x;y) et vv(x';y') vu.vv=1/2(norm(vu)^2+norm(vv)^2-(norm(vv-vu)^2) Comme le repere est orthonorme norm(vu)=R(x^2+y^2) et norm(vv)=R(x'^2+y'^2) Par ailleurs vv-vu(x'-x;y'-y) donc norm(vv-vu)=R((x'-x)^2+(y'-y)^2) D'ou vu.vv=1/2[x^2+y^2+x'^2+y'^2-((x'-x)^2+(y'-y)^2)] =1/2(2xx'+2y'y) =xx'+yy' Preuve: projeté orthogonal vOA.vOB=vOA.(vOH+vHB) =vOA.vOH+vOA.vHB =vOA.vOH Preuve: produit scalaire et angles de vecteurs vu.vv=vOA.vOB=vOA.vOH=norm(vOA)*norm(vOH) cos(vu;vv)=OH/OB<=>OH=OB*cos(vu;vv) vu.vv=vOA.vOH=norm(vOA)*norm(vOH)=norm(vOA)*norm(vOB)*cos(vu;vv) ˙Âm