**TI82** TxtView file generated by CalcText - KouriC 4demo142ÿdémo - ¥Z ,­ #IThéorème des gendarmes#I #1 dans le cas ou la variable où x tends vers l'infini.#2 #1Soit †>0 quelconque. Comme lim(u(x),x,+¾) = l, alors il existe un intervalle de la forme ]m;+¾[, inclus dans ]€;+¾[,sur lequel l-†‰, l-†0, on peut donc conclure que lim(f(x),x,+¾)=l.#2 #IThéorème de la bijection#I unicité de la solution #1Supposons que l'équation f(x)=k ait deux solutions distinctes c et c' dans [a,b]. Deux cas possibles: -1er cas: cc' Mais alors f(c)>f(c'). Ce qui contredit à nouveau que f(c)=f(c')=k. L'hypothèse émise au départ est donc fausse. Donc l'équation f(x)=k n'a qu'une seule solution.#2 #IDérivation d'une fonction composée#I #1ignorer les "." dans les formules après les "°". Le y doit être remplacé par un grand X pour une démonstration plus académique.#2 Soit x un réel quelconque appartenant à I et distinct de a. Alors : &E(v°u(x)-v°u(a))/(x-a) = &E((v°u(x)-v°u(a))/(u(x)-u(a)))*(((u(x)-u(a))/(x-a))) Etudions la limite de chacun de ces deux quotients lorsque x tend vers a : Comme u est dérivable en a, &Elim(((u(x)-u(a))/(x-a))=u'(a),x,a) Par ailleurs, en posant Y=u(x), on a &E(v°u(x)-v°u(a))/(u(x)-u(a)) = &E(v(u(x))-v(u(a)))/(u(x)-u(a)) = &E(v(Y)-v(b))/(Y-b) #1Or lim(u(x),x,a)=u(a)=b car u est continue en a (puisque dérivable en a) et#2 &Elim((v(Y)-v(b))/(Y-b),Y,b)=v'(b) car v est dérivable en b. Donc par composition : &Elim((v°u(x)-v°u(a))/(u(x)-u(a)),x,a)=v'(b) Par produit, on peut donc conclure que : &Elim((v°u(x)-v°u(a))/(x-a),x,a)=u'(a)*v'(b) = &Eu'(a)*v'(u(a)) La fonction v°u est donc dérivable en a et son nombre dérivé en a est &Ev'(a)=u'(a)*v'(u(a)) #IUnicité de l'équation y'=y avec condition initiale y(0)=1#I #1Soient f et g deux fonctions dérivables sur R et répondant toutes deux aux conditions y'=y y(0)=1 -Soit ‘ la fonction définie sur R par : ‘(x)=f(x)*f(-x). Cette fonction est dérivable sur R comme produit de deux fonctions dérivables sur R et ‘'(x)=f'(x)*f(-x)+f(x)*(-f'(x)) Mais d'après l'hypothèse f'=f, f'(x)=f(x) et f'(-x)=f(-x) pour tout réel x. On démontre ainsi que ‘' est la fonction nulle sur R. Par conséquent ‘ est constante sur R. Or ‘(0)=f(0)*f(0)=1. Donc ‘ est constante et égale à 1 sur R. -Soit maintenant la fonction ’ définie sur R par : ’(x)=f(-x)*g(x). Cette fonction est encore dérivable sur R et ’'(x)=-f'(x)*g(x)+f(-x)*g'(x) Compte tenu des hypothèses sur f et g, f'=f et g'=g, pour tout réel x f'(-x)=f(-x) et g'(x)=g(x). Il en découle que ’' est la fonction nulle. Donc ’ est constante sur R et comme ’(0)=f(0)*g(0)=1,’ est égale à 1 sur R. -Les fonctions ’ et ‘ sont donc égales à 1 sur R, c'est-à-dire que pour tout réel x, f(-x)*f(x)=f(-x)*g(x)=1. On en déduit deux choses : -D'abord que quel que soit le réel x, le produit f(-x)*f(x) est non nul et donc quelque soit x appartient à R, f(-x)0. -Puis en divisant chaque membre par f(-x) ( ce qui est licite puisqu'on vient de prouver qu'il est différent de 0) que, pour tout réel x, f(x)=g(x). Les fonctions f et g sont donc égales. Ce qui prouve l'unicité . #2 #ILimite de exp(x) en +¾#I Introduisons la fonction ‘ définie sur R par ‘(x)=e#1#Ex#E#2-x. ‘ est la somme de deux fonctions dérivables sur R donc elle est elle-même dérivable sur R et ‘'(x)=e#1#Ex#E#2-1. Comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur R et que –#1#E0#E#2=1,on en déduit que quelque soit x<0, e#1#Ex#E#2>1 et que quelque soit x>0, e#1#Ex#E#2>1. Donc ‘' est strictement négative sur ]-¾;0[ et strictement positive sur ]0;+¾[. Donc la fonction ‘ est strictement décroissante sur R#1#E-#E#2 et strictement croissante sur R#1#E+#E#2. Elle atteint donc son minimum pour x=0. Or ‘(0)=1, donc quelque soit x appartient à R, ‘(x)ž1. La fonction ‘ est donc strictement positive. D'où quelque soit x appartient à R, e#1#Ex#E#2>x. On peut maintenant utiliser le théorème de comparaison : lim(x,x,+¾) donc lim(e#1#Ex#E#2,x,+¾)=+¾ ÿnÅ