**TI82** TxtView file generated by CalcText - KouriXIMTSEXPOIG˙Maths exponentielleExponentielle Propriété : Soit f une fonction dérivable sur R telle que f'=f et f(0)=1 alors f ne s'annule pas sur R Démonstration: Soit g la fonction définie sur R par g (x) = f (x) × f (-x). Cette fonction est dérivable sur R et pour tout x€R g'(x)=-f(-x)*f(x)+f(x)*f(-x) (car f'=f) ou encore g(x)=0 Donc la foction g est constante sur R donc il existe k€R tel que pour tout x€R, g(x)=1 Or f(0)=1 et g(0)=f(-0)*f(0) donc k=1 Donc pour tout x€R, g(x)=1 c'est ŕ dire f(-x)*f(x)=1 Donc la foction ne s'annule pas De plus pour tout x€R f(-x)=1/f(x) Preuve de l'unicité: Il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que f'=f et f(0)=1 Faire h(x)=f(x)/g(x) donc (u/v)'=u'*v-v'*u/v˛ h(x)=1 donc f=g d'oů la preuve de l'unicité (exp(u))'=u'*exp(u) exp(x+y)=exp(x)*exp(y) Démo: g(x)=exp(x+y)/exp(x) donc (u/v)'=u'*v-v'*u/v˛ g(x)=0 Or g(0)=exp(0+y)/exp(0) donc g(x)=exp(y) donc exp(x+y)/exp(x)=exp(y) ou encore exp(x+y)=ex=(x)*exp(y) exp(x)>0 Démo: soit x€R exp(x)=exp(x/2+x/2) =exp(x/2)*exp(x/2) exp(x)=(exp(x/2))˛ Or exp différent de 0 Donc exp(x)>0 lim e^x=+inf quand x tend vers +inf démo: soit la fonction g définie sur [0;+inf[ par g(x)=e^x-x Cette fonction est dérivable sur [0;+inf[ Pour tout x€ [0;+inf[, g'(x)= e^x-1 e^x-1>=0 e^x>=1 e^x>=0 x>=0 D'aprčs le tableau de variations, 1 est le minimum g sur [0;+inf[ Donc pour tout x€ [0;+inf[ g(x)>0, c'est ŕ dire e^x>x Donc lim e^x=+inf quand x tend vers +inf lim e^x=0 quand x tend vers -inf démo: Pour tout x€R, e^x=1/e^-x lim (-x)=+inf quand x tend vers -inf Donc lim^-x=+inf quand x tend vers -inf Donc lim 1/e^-x=0+ quand x tend vers -inf Donc lim e^x=0+ quand x tend vers -inf Compléments: Approximation affine au voisinage de zéro: Pour h proche de 0 e^h=1+h Donc lim h->0 ((e^h-1)/h)=1 Croissances comparées: Pour tout entier naturel n non nul: lim x->+inf (e^(x)/x)=+inf lim x->-inf x*(e^(x))=0 On peut établir la rčgle suivante: A l'infini, la fonction exponentielle l'emporte sur toute puissance de x.˙ëť