**TI82** TxtView file generated by CalcText - Kouriâ ÓbarycentÓÑÿbarycentreI. Barycentre de deux points pondérés Théorème : Soient A et B deux points et a et b 2 réels. Si a+beta differen 0, alors il existe un unique point G tel que vect.aGA+ vect.bGB= vect.0 Définition : Soient A et B deux points et a et b 2 réels tels que a+b differen 0. L'unique point G tel que vect.aGA+ vect.bGB= vect.0 est appelé barycentre des points A et B affectés des coefficients a et b. remarques : On dit aussi que G est le barycentre des points pondérés (A,a) et (B,b), ou encore que G est le barycentre du système {(A,a); (B,b)}. On note : G = bar {(A,a); (B,b)} Si a=b , on dit que G est l'isobarycentre des points A et B (A et B étant deux points distincts). Théorème : Soit G le barycentre des points pondérés (A,a) et (B,b), avec a+b diff.0 . Alors, pour tout point M du plan, on a : (a+b)*vectMG=vect AmA+vect bMB D'où l'on déduit :vect MG= a/a+b *vect MA+ b/a+b*vect MB démonstration : On sait que vect.aGA+ vect.bGB= vect.0 Donc, à l'aide de la relation de Chasles :a(vectGM+MA)+b(GM+MB)=vect0 Donc :aGM+aMA+bGM+bMB=vect0 Donc :(a+b)GM=-(aMA+bMB) Donc : (a+b)MG=aMA+bMB On en déduit que : MG= a/a+b *vect MA+ b/a+b*vect MB Propriétés : Si G est le barycentre du système {(A,a); (B,b)} avec a+b diff 0 et A et B deux points distincts, alors G appartient à la droite (AB) (ce qui revient à dire que les points G, A et B sont alignés). Position du barycentre G sur la droite (AB) : si a+b diff 0 et a et b deux réels tous deux positifs ou tous deux négatifs, alors G appartient au segment [AB]. homogénéité : le barycentre de deux points pondérés ne change pas si l'on multiplie les coefficients par un nombre réel non nul. Ce qui se traduit par : si G est le barycentre du système {(A,a); (B,b)} avec a+b diff 0, alors G est aussi le barycentre du système {(A, k ×a); (B, k ×b)} avec k réel non nul. II. Barycentre de trois points pondérés Théorème : Soient A, B et C trois points et a, b et c trois réels. Si a+b+c diff 0, alors il existe un unique point G tel que aGA+bGB+cGC=0 Définition : Soient A, B et C trois points et a, b et c trois réels tels que a+b+c diff 0. L'unique point G tel que aGA+bGB+cGC=0 est appelé barycentre des points A, B et C affectés des coefficients a, b et c. remarques : On dit aussi que G est le barycentre des points pondérés (A, ), (B, ) et (C, ). ou encore que G est le barycentre du système {(A, ); (B, ); (C, )}. On note : G = bar {(A, ); (B, ); (C, )} Si a = b = c, on dit que G est l'isobarycentre des points A, B et C. Si ABC est un triangle, l'isobarycentre G est le centre de gravité de ABC. Théorème : Soit G le barycentre des points pondérés (A, ), (B, ) et (C, ), avec a+b+c diff 0. Alors, pour tout point M du plan, on a : (a+b+c)MG= aMA+bMB+cMC D'où l'on déduit :MG= a/a+b+c *MA+ b/a+b+c*MB +c/a+b+c*MC Propriétés : homogénéité : le barycentre de trois points pondérés ne change pas si l'on multiplie les coefficients par un nombre réel non nul. ce qui se traduit par : si G est le barycentre du système {(A, ); (B, ); (C, )} avec a+b+c diff 0, alors G est aussi le barycentre du système {(A, k × ); (B, k × ); (C, k × )} avec k réel non nul. théorème du barycentre partiel : G est le barycentre du système {(A, ); (B, ); (C, )}. Supposons que a+b diff 0 et notons H le barycentre de {(A, ); (B, )}. Alors G est le barycentre de {(H, a +b ); (C,c )} III. Barycentre de n points pondérés On généralise à n points les résultats établis pour deux ou trois points. Théorème : Soient A1, A2, ..., An n points et n réels. Si a1+a2+...+an diff 0, alors il existe un unique point G tel que a1GA1+a2GA2+..+anGAn=0 Définition : Soient A1, A2, ..., An n points eta1,a2... an réels tels que a1+a2+..+an diff 0. L'unique point G tel que a1GA1+a2GA2+..+anGAn=0 est appelé barycentre des points A1, A2, ..., An affectés des coefficients a1, a2, ... an. remarques : On dit aussi que G est le barycentre des points pondérés (A1,a1); (A2, a2), ... et (An, an), ou encore que G est le barycentre du système {(A1, 1); (A2, 2); ...; (An, n)}. On note : G = bar {(A1, 1); (A2, 2); ...; (An, n)} Si a1 = a2 = ... =an, on dit que G est l'isobarycentre des points A1, A2, ... An (avec A1, A2, ... An n points dictincts). Théorème : Soit G le barycentre des points pondérés (A1, 1); (A2, 2); ...; (An, n), avec a1+a2+..+an diff 0. Alors, pour tout point M du plan, on a :(a1+a2+...+an)MG=a1MA1+a2MA2+..+anMAn D'où l'on déduit : MG= a1/a1+a2+..+an *MA1+ a2/a1+a2+..+an*MA2+...+ an/a1+a2+..+an *MAn Propriétés : homogénéité : le barycentre de n points pondérés ne change pas si l'on multiplie les coefficients par un nombre réel non nul. Ce qui se traduit par : si G est le barycentre du système {(A1, 1); (A2, 2), ... et (An, an)} avec a1+a2+an diff 0, alors G est aussi le barycentre du système {(A1, k × 1); (A2, k × 2); ...; (An, k × n)} avec k réel non nul. théorème du barycentre partiel : G est le barycentre du système {(A1, 1); (A2, 2); ...; (An, n)}. Supposons que a1+a2+ap diff 0 (p inf. ou = n) et notons H le barycentre du système {(A1, 1); (A2,2); ...; (Ap,p)} Alors G est le barycentre du système {(H, 1 + 2 + ... + ap); (Ap+1,ap+1); ...; (An, an)}. IV. Coordonnées du barycentre Dans un repère (o,i,j), si G est le barycentre de (A1, 1); (A2, 2); ...; (An, n), avec a1+a2+an diff 0, alors les coordonnées du point G sont : xG= (a1x1+a2x2+..+anxn)/ a1+a2+..+an et idem en remplacan x par y exemple : A, B et C sont trois points tels que A(-2; 3), B(2; 4) et C(1; -1). Le barycentre G de {(A, 4); (B, 3); (C, -2)} a pour coordonnées le couple (xG; yG) tel que : xG= 4*(-2) +3*2-2*1 / 4+3-2 =- 4/5 et yG= .. 26/5 ÿ¢.