**TI82** TxtView file generated by CalcText - Kourié ÚexpoÚŘ˙f° exponentielleslemme: les solution f de y'=y avec y(o)=1 sont telle que pour tt xER f(x)dif0 posons g(x)=f(x)*f(-x) g'(x)=f'(x)*f(-x)+f(x)*(-f'(-x)) =0 g(x)=k , kER or g(o)=f(o)*f(o)=1 donc k=1 g(x)=1 f(x)*f(x)=1 dc f(x) dif0 unicite: supposons que f et f1 sont 2 solut° posons h=f/f1 car f1(x) dif0 pour tt xER h'(x)=(f'(x)*f1(x)-(f(x)*f'1(x))/ (f1(x))˛ =f(x)*f1(x)-f(x)*f1(x)/(f1(x))˛ car f'=f et f'1=f1 dc h'(x)=0 h(x)=k or h(0)=f(o)/f1(o)=1 dc h(x)=1 f(x)/f1(x)=1 f(x)=f1(x) pour tt xER dc f=f1 la solution est unique exp(-a)=1/exp(a) exp(a+b)=exp(a)+exp(b) posons g(x)=exp(x+a)*exp(-x) g dérivable com composee et produits de f° derivable g'(x)= exp(x+a)*exp(-x)+ exp(x+a)*(-exp(-x))=0 dc pour tout x ER, g(x)=k or g(0)=exp(a)*exp(0)=exp(a) d'ou k=exp(a) dc exp(x+a)*exp(-x)=exp(a) exp(x+a)* 1/exp(x) = exp(a) exp(x+a)=exp(x)+exp(a) exp(a)>0 exp(a/2+a/2)=exp(a/2)*exp(a/2) exp(a)=(exp(a/2))˛>eg ŕ 0 n EZ exp(na)= (exp(a)) e0=1 e-a=1/ea ea*eb=e(a+b) (ea)n=e(na) (eu)'=u'*eu ea/eb=e(a-b) eq differentiel y'=ky les solut° de l'eq y'=ky, sont les f°: fc: R_R x_ce(kx) (CER) demo: g(x)=e -kx * f(x) g'(x)= -ke(-kx)*f(x)+e(-kx)*f'(x) or f'(x)=kf(x) g'(x)=-ke(-kx)*f(x)+ke(-kx)*f(x) g'(x)=0 il existe CER, qq soit xER g(x)=C e(-kx)f(x)=C f(X)=Ce(kx) il existe une solut° et une seule verifiant y(x0)=y0 avec (x0;y0) donnees f(x0)=yo alors yo=Ce(kxo) C=yo(-kxo) unique˙i¨