**TI82** TxtView file generated by CalcText - Kouri‚ sCoursqÿLes Nombres complexes I) L'ENSEMBLE DES NOMBRES COMPLEXES >On admet l'existence d'un ensemble note C dont les éléments, appelés nombres complexes, sont de la forme a+bi, ou a et b sont des nombres réels quelconques et i un nombre nouveau.< EXEMPLES z1=3+2i, z2=-1-4i sont des nombres complexes Égalité de nombres complexes : a+bi=a'+b'i si et seulement si a=a' et b=b'. REMARQUE En électronique, le nombre complexe est note a+bj au lieu de a+bi pour ne pas le confondre avec l'intensité i . II) RÈGLE DE CALCUL DANS C 1. THÉORÈME (ADMIS) >On peut définir dans C une addition et une multiplication pour lesquelles les règles de calcul sont que dans R, avec i²=-1.< REMARQUE Le carre de i étant négatif, i n'est pas un nombre réel. 2.EXEMPLE DE CALCUL DANS C Soit les deux nombres complexes z1=3+2i et z2=-1-4i ; on se propose de mettre sous la forme a+bi les nombre complexes z1+z2, z1z2, z1². Somme : z1+z2=(3+2i)+(-1-4i) z1+z2=(3-1)+(2-4)i z1+z2=2-2i. Produit : z1z2=(3+2i)(-1-4i) z1z2=-3-12i-2i-8i² z1z2=-3-14i-8(-1) z1z2=8-3-14i z1z2=5-14i. Carré : z1²=(3+2i)² z1²=9+12i+4i² z1²=9+12i-4 z1²=5+12i. 3. REMARQUES >L'ensemble R est un sous-ensemble de C.< En effet, tout nombre réel a peut s'écrire a+0i, c'est donc un élément de C. En particulier 0=0+0i et 1=1+0i. Pour tout nombre complexes z, les nombres réels a et b tels que z=a+bi sont uniques. Par Définition, a est la partie réelle de z et b est la partie imaginaire de z. Notation : a=Re(z) et b=Im(z) Ainsi, pour z1=3+2i, on a Re(z1)=3 et Im(z1)=2. Un nombre complexes dont la partie réelle est nulle s'écrit z=bi ; il est dit imaginaire pur. En particulier i=0+1i est un imaginaire pur. Puisque i²=-1, i est une solution dans C de l'équation x²=-1 qui n'a pas de solution dans R. Comme (-i)²=-1, -i est une autre solution complexe de cette même équation. On démontre que i et -i sont les seules solutions dans C de cette équation. III) CONJUGUE D'UN NOMBRE COMPLEXE ; INVERSE D'UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL 1.CONJUGUE D'UN NOMBRE COMPLEXE >Définition : Le nombre complexe conjugue de z=a+bi est le nombre complexe a-bi, note z\ (se lit "z barre").< EXEMPLE Le conjugue de z1=3+2i est z1\=3-2i. REMARQUE z\=a-bi, conjugué de z=a+bi, a lui-même un conjugué : c'est z\\=a-(-bi)=a+bi. donc z\\=z. Si z est un nombre réel, alors z=a+0i. Par définition du conjugue, z\=a-0i. donc si z est un nombre réel, alors z\=z. Soit z=a+bi. En utilisant les règles de calcul dans C, on obtient : z+z\=2a et z.z\=a²+b². donc la somme et le produit d'un nombre complexe et de son conjugue sont des nombre réels. Conjugue d'une somme : cas particulier avec z1=3+2i et z2=-1-4i, on a z1+z2=2-2i. donc (z1+z2)\=2+2i. or z1\+z2\=3-2i+(-1-4i) z1\+z2\=2+2i. on a donc (z1+z2)\=z1\+z2\. cas général Soit z=a+bi et z'=a'+b'i des nombres complexes quelconques. z+z'=(a+bi)+(a'+b'i) z+z'=a+a'+(b+b')i. donc z+z' a pour conjugue (z+z')\=a+a'+(b+b')i, qui peut s'écrire (z+z')\=(a-bi)+(a'-b'i). donc (z+z')\=z\ + z'\. >Pour tous nombres complexes z, z', on a (z+z')\ = z\+z'\.< Conjugué d'un produit : (le résultat est admit) >Pour tous nombre complexes z, z', on a (z.z')\ = z\.z'\.< Le conjugué d'un produit est le produit des conjugués. 2.INVERSE D'UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL L'inverse d'un nombre complexe z non nul, noté 1/z, peut être mis sous la forme a+bi en utilisant le conjugué z\ de z. Exercice résolu Mettre sous la forme a+bi le nombre complexe z3=1/(3+2i). Multiplions le numérateur et le dénominateur par le conjugué de 3+2i : z3=(3-2i)/((3+2i).(3-2i)) z3=(3-2i)/(9-4i²) z3=(3-2i)/(9+4) z3=(3/13)-(2/13)i. APPLICATION Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire des nombres complexes suivant : z4=(4-i)/(1+i), z5=(3-5i)/i, z6=(1-i)/(1+i). (On multipliera numérateur et dénominateur de chaque quotient par le nombre conjugué du dénominateur.) Conjugué de l'inverse d'un nombre complexe non nul : Soit z un nombre complexe non nul ; il a un inverse 1/z. On a z.1/z=1 ; donc (z.1/z) a pour conjugué : (z.1/z)\=1\. Or (z.1/z)\=z\.(1/z)\ d'après le résultat sur le conjugué d'un produit ; et 1\=1 d'après le résultat sur le conjugué d'un nombre réel. Donc z\.(1/z)\=1. Donc (1/z)\=1/(z\), en divisant par z\ non nul les deux nombres de l'égalité. >Pour tout nombre complexe z non nul, on a (1/z)\=1/(z\).< Exemple d'application : (1/(1+i))\ est le conjugué de l'inverse de 1+i. Donc (1/(1+i))\=1/(1+i)\. Or (1+i)\=1-i. Donc (1/(1+i))\=1/(1-i). Conjugué d'un quotient : Soit z et z' des nombres complexes, z' n'étant pas nul. Comme z/z'=z.1/z', z/z' a pour conjugué (z/z')\=(z.1/z')\ : c'est le conjugué d'un produit. Donc (z/z')\=z\.(1/z')\. Or (1/z')\=1/z' d'après le résultat encadré si dessus. Donc (z/z')\=z\.1/(z'\) en utilisant les deux égalité précédentes. En définitive (z/z')\=(z\ / z'\). >Pour tous nombres complexes z et z', z' n'étant pas nul, on a (z/z')\=z\ / z'\.< Exemple d'application : Le conjugué de (3+2i)/(-1-4i) est (3-2i)/(-1+4i).ÿ­k