**TI82** TxtView file generated by CalcText - Kouri% MecanewtÿMecanique de newtonLA MECANIQUE DE NEWTON Vecteur position d'un mobile ponctuel Dans le repère orthonormé (O,i,j,k), lié au référentiel d'étude, la position d'un mobile ponctuel est, à l'instant t, donnée par le vecteur position : vect OM(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k (1) A cet instant t, le mobile se trouve à une certaine distance de l'origine O du repère donnée par : norm(OM) = racin(x²+y²+z²) (2) Vecteur vitesse moyenne d'un mobile ponctuel Si, dans un référentiel donné, entre les dates t et t', le mobile se déplace de M en M', alors le vecteur vitesse moyenne entre ces deux dates est : vect V(G) = vect MM'/t'-t = vect OM'-OM/t'-t Vecteur vitesse instantanée d'un mobile ponctuel Si, dans un référentiel donné, les dates t et t' figurant dans l'expression précédente se rapprochent de plus en plus, on montre, en mathématiques, que la limite du vecteur vitesse moyenne est la dérivée par rapport au temps du vecteur position . Cette limite est le vecteur vitesse instantanée (à l'instant t) du mobile ponctuel : vect V(G) = vect dOM/dt - le point d'application de V est le point M où se trouve le mobile ponctuel à cet instant. - la direction de V est celle de la tangente en M à la trajectoire suivie par le point étudié. - le sens de V est celui du mouvement. - la longueur de V représente, à une échelle donnée, la norme du vecteur vitesse à cet instant. Dans le repère (O,i,j,k) , lié au référentiel d'étude du mouvement : vect(V)=vect dOM/dt=(dx/dt)i+(dy/dt)j+(dz/dt)k coordonnées de V(G) (Vx,Vy,Vz): Vx=dx/dt, Vy=dy/dt, Vz=dz/dt Vg(t)=racine(Vx²+Vy²+Vz²) en m/s Vecteur accélération d'un mobile ponctuel - Dans un référentiel donné le vecteur vitesse d'un mobile ponctuel peut changer de valeur et (ou) de direction. Ce changement éventuel peut se faire plus ou moins rapidement. - Par définition, on appelle vecteur accélération instantanée vect(a) du mobile ponctuel la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse V : vect(a)=dV/dt - le point d'application de a est le point M où se trouve le mobile ponctuel à cet instant. - le vecteur a est dirigée vers "l'intérieur" de la trajectoire. - la longueur a de représente, à une échelle donnée, la norme du vecteur accélération à cet instant. - Les coordonnées de a dans le repère orthonormé (O,i,j,k) , sont données ci-dessous. - L'accélération s'exprime en m/s² dans le système international d'unités. Remarque : Insistons sur le fait que si le vecteur garde la même norme mais change de direction, il y a déja un vecteur accélération. C'est le cas, notamment, des mouvements circulaires uniformes sur lesquels nous reviendrons dans une prochaine leçon. Dans le repère (O,i,j,k) , lié au référentiel d'étude du mouvement : vect(aG)=(dVx/dt)i+(dVy/dt)j+(dVz/dt)k coordonnées du vecteur accélération: ax=dVx/dt=d²x/dt, ay=dVy/dt=d²y/dt, az=dVz/dt=d²z/dt norm(aG)=aG=racine(ax²+ay²+az²) en m/s² Première loi de Newton Dans certains référentiels, appelés référentiels Galiléens, si la somme des forces extérieures appliquées à un solide est nulle alors le centre d’inertie de ce solide est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme, et réciproquement. sFext=vect0 <=> Vg reste constant en direction, sens et norme. Deuxième loi de Newton Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse m du solide par l'accélération aG de son centre d'inertie : sFext=Fresultante Fresultante=M*aG M en kg aG en m/s² Fresultante en Nÿý