**TI82** TxtView file generated by CalcText - Kouri¥–Theoreme–”ÿthéorème1) Suite croissante non majoré tend vers +00 A réel. Suite U n'est pas majoré donc il existe un entier N tel que Un>A. La suite U est croissante donc tous ses termes à partir du rang N sont contenus dans l'intervalle ]A;+00[. Ainsi U tend vers +00 2) Théorème des gendarmes: I un intervalle ouvert contenant l. Il existe un réel M tel que si X=>M; alors g(x)EI et il existe un réel M' tel que si x=>M' alors h(x)EI. D'autre part, il existe un réel M'' tel que si X=>M'' alors g(x)<=f(x)<=h(x) Pour tout réel x > M,M',M'' on a g(x)EI, h(x)EI et g(x)<=f(x)<=(h(x), donc f(x)EI. Si l'on note M0 le plus grd nombre M,M',M'' alors l'intervalle I contient toutes les valeurs f(x) pour x=>M0. limf= +00 3)unicité de la fonction dérivable f'=f et f(0)=1: 1. f n'est pas la fct nulle dont il existe un réel x0 f(x0)=/0. D'après l'hypo: f(x0+0)=f(x0)xf(0), cad : f(x0)=f(x0)xf(0). Donc f(0)=1 2. x réel fixé. on définis fct W et Z en posant: W(y)=f(x+y) Z(y)=f(x)f(y) d'aprés th de dérivation d'une fct composé: W'(y)=f'(x+y) Z'(y)=f(x)f'(y) Or, pour tout réely, W(y)=Z(y), donc W'(y)=Z'(y) f'(x+y)= f(x)f'(y) Pour y=0, f'(x)=f'(x)f'(0) 4) existence et unicité de la solution y'=a*y+b passant par un point donné :a et b designent des réels donnés avec a different de 0. :les solution sur R de l'eq differentielle y'=a*y+b sont les fonctions definies par yk = k*exp(ax)-b/a avec k reel : : : :y etant une fonction derivable sur R, on pose u=a*y+b.la fonction u est derivable sur R et u' = a*y' soit y' =(1/a) * u' :resoudre l'equation E : y'=a*y+b equivaut à resoudre l'equation différentielle : :(1/a)*u' = u c'est a dire E' : u'=a*u : :Les solutions sur R de E' sont les fonctions definies par um(x) = m*exp(ax) avec m réel. :Donc les solutions sur R de E sont les fonctions y telles que pour tout réel x, :m*exp(ax) = a*y(x)+b c'est a dire les fonctions definies par : :y(x)=(1/a)*(m*exp(ax)-b) : = (m/a)*exp(ax)-b/a : :Les solutions sur R de E sont ainsi les fonctions yk definies par : yk(x) = k/exp(ax)-b/a (en posant k=m/a) Pour tout coouple (x0,y0) de reels, l'eq differentielle y'=a*y+b ( avec a differnt de 0) admet une solution f est une seule telle que f(x0) = y0 Si f(x) = k*exp(ax)-b/a avec k reel, la condition f(x0)=y0 equivaut à : :k*exp(a*x0) -b/a = y0 , c'est a dire : :k= exp (-a*x0)*(y0+b/a) :l'equation y'=a*y+b admet donc une seule solution f telle que f(x0)=y0 5)corllaire du theoreme des valeurs intermédiaires : : :Si f est une fonction continue et strictement monotone sur [a,b],alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'equation f(x) = k admet une solution unique dans [a,b] : :demonstration : cas ou f est strictement croissante sur [a,b] : :d'apres le theoreme des valeurs intermediaires,il existe un réel c de [a,b] tel que f(c) =k. f est strictement croissante sur [a,b] donc si x est un reel de [a,b] tel que xc alors f(x) >k. :donc c est l'unique reel de [a,b] solution de l'equation f(x)=k 6)si f est continue sur un intervalle I, et si a est un point de I, la fonction F telle que F(x) = integrale (f(t)dt de a à x est l'unique primitive de f sur I s'annulant en a ( dans le cas ou f est continue et croissante) : :demonstration : : :x0 est un reel de I, h est un reel tel que h different de 0 et x0+h appartient à I : :f etant continue sur I,la fonction F est definie sur I. D'apres la relation de chasles : :F(x0+h)-F(x0) = := integr de a à x0+h f(t)dt - integr a à x0 f(t) dt := integr de x0 à x0+h f(t)dt : :si h >0, f est croissante sur [x0,x0+h] donc pour tout reel t de [x0;x0+h] , on a: :f(x0) <= f(t) <= f(x0+h) : :d'apres les inegalites de la moyenne : :f(x0)<= (1/h)*integr xo à x0+h f(t)dt <= f(x0+h) c'est a dire : : :f(x0)<=(F(x0+h)-F(x0))/h <= f(x0+h) : :si h<0, par raisonnement analogue on obtient : :f(x0+h)<=(F(x0+h)-F(x0))/h <= f(x0) : :f est continue en x0 donc :lim lorsk h-0 de f(x0+h)=f(x0) et d'apres le theoreme des gendarmes : :lim h-0 (F(x0+h)-F(x0))/h = f(x0) : :la fonction F est derivable en x0 et F'(x0) = f(x0). Or x0 est un reel quelconque de I donc F est derivable sur I et F'=f. F est une primitive de f sur I. :F(a)=0, F est donc l'unique primitive de f qui s'annule en a 7)limite en +oo de exp(x)/x et de lnx/x et en -oo de x*exp(x) : : :lim en x=+oo exp(x)/x : :phi est la fonction definie sur [0;+oo[ par phi(x) = exp(x)-1/2*(x^2), :on a phi'(x) = exp(x)-x et :phi''(x) = exp(x)-1 : :phi'' est positive sur [0;+oo[ donc phi' est croissante sur [0;+oo[ or phi'(0) = 1 donc phi' est positive sur [0;+oo[. :alors phi est croissante sur [0,+oo[, comme phi(0) = 1, phi est positive sur [0,+oo[ : :on en deduit que pour tout reel x de ]0;+oo[, exp(x)/x >= 1/2*x :d'apres les proprietes de comparaisons de deux fonctions : :lim x +oo (1/2)*x = +oo :donc lim x +oo (exp(x))/x = +oo : : : :limite en +oo de lnx/x : : :pour x>0, on pose X = ln x alors :ln x/x = X/exp(X) :lim x +oo (X) = +oo et :lim X +oo X/exp(X) = 0 d'apres le thm precedent. :Avec la propriété de composition , on obtient : :lim x +oo lnx/x = 0 : : : :Limite -oo de x*exp(x) : :on effectue le changement de variable X = -x, alors x*exp(x) = -X*exp(-X) := -X/ (exp X). :lim x -oo (X) = +oo et d'apres le resultat du thm 1, :lim X +oo (-X/ exp X) = 0. :Avec la propriete de composition, on obtient :lim x -oo x*exp(x) = 0 8) teta a qui associe : cos teta +i*sin teta verifie l'equation fonctionnelle caracteristique des fonctions exponentielles. : :f est la fonction definie sur R et à des valeurs dans C par :f(teta)=cos teta + i*sin teta. : :pour tous reels teta et teta', :f(teta+teta') = f(teta)*f(teta'). en effet,les complexes f(teta+teta') et f(teta)*f(teta') ont pour module 1 et pour argument (teta+teta') : :Les fonctions cos et sin etant derivable sur R, on dit que f est derivable sur R. :La fonction derivee de f definie par f'(teta)=cos'(teta)+i*sin'(teta) = -sin(teta)+i*cos(teta). :on obtient alors f'(0)=i :par analogie avec la definition de la fonction exponentielle, on adopte l'ecriture exp(i*teta)= cos teta+i*sin teta 9) n = n-1 + n-1 :p p-1 p : :pour tous entiers naturels tels que :1<= p <= n-1 : :E est un ensemble a n elements , on note a un élément fixé de E.Pour dénombrer les parties à p éléments de E, on peut distinguer : :- celles qui ne contiennent pas a : ce sont les parties à p élément choisis parmi les n-1 éléments de E distincts de a; elles sont au nombre de n-1 : p : :- celles qui contiennent a, il reste a choisir p-1 éléments parmis les n-1 éléments de E différents de a, on en compte donc n-1 : p-1 : :or il y a n parties à p éléments de E,donc : p : :n = n-1 + n-1 :p p-1 p : : : : : : :n = n :p n-p : :E est un ensemble à n éléments. A chaque partie A de E à p éléments, on associe la partie A barre formée des n-p éléments de E qui n'appartiennent pas à A. Il y a donc autant de parties à p éléments que de parties à n-p éléments ce qui prouve l'égalité énoncéeÿs