**TI82** TxtView file generated by CalcText - Kourio`ExpTB2`^ÿExpTB2+Appli eco* ETUDE FONCTION EXP On considere la fction f defini sur [0;+inf[ par : f(x)=(x+8)e^-0.5x . on note f' sa fction deriveet on admet que , pr tout x de [0;+inf[ on a : f'(x)= (-0.5x-3)e^-0.5x 1.Etudier le sens de variation de la fonction f sur [0;+inf[ Le sens de variation de f est donne par le signe de la derive f'(x) sur [0;+inf[. Or,pour tout reel x , f'(x) est le produit de (-0.5x-3) par e^-0.5x . -> Pour tout reel x de [0;+inf[ , e^-0.5x est strictement positif . -> Pour tout reel x de [0;+inf[ : x > 0 -0.5x < 0 d'ou -0.5x-3 < -3 < 0 Pour tout reel x de [0;+inf[ , le produit des 2 facteurs (-0.5x-3) par e^-0.5x de signes contraire est negatif. -> Donc la fction f est stric decroissante sur [0;+inf[. 2.Primitive de f sur [0;+inf[. Demontrer que la fction F definie sur 0;+inf par : F(x)=(-2x-20)e^-0.5x est une primitiv de f sur ce meme intervalle. Soit F la fction definie sur [0;+inf[ par F(x)=(-2x-20)e^-0.5x . La fonction F est primitiv de f sur cet interval ssi pr tout reel x de cet interval F'(x)=f(x) . Calculons pour tout reel x>0 F'(x) . La fonction F est une fction composée avec u(x)=-2x-20 et v(x)=e^-0.5x u'(x)=-2 et v'(x)=-0.5e^-0.5x F' = (u)'* v()' F'(x)= u'(x)v(x) + u(x)v'(x) F'(x)= -2e^-0.5x + (-2x-20)(-0.5e^-0.5x) = e^-0.5x(-2+x+10) = (x+8)e^-0.5x = f(x) La fonction F est donc une primitive de f sur [0;+inf[ 4 3.Calcul de l'integral S f(x) dx 2 La fonction f admet la fonction F pr primitiv sur [0;+inf[ donc : 4 4 I=S f(x)dx = [F(x)] = F(4)- F(2) 2 2 I = -28 e^-2 - (-24e^-1) I = 24/e - 28/e^2 I = 5.04 a 0.01 pres . B- APPLICATION A LECONOMIE La fonction de demande d'un produit informatique est modelisé par la fonction f etudié dans la partie A. Le nombre f(x) represente la quantite demandé , éxprimée en millier d'objet , lorsque le prix unitaire est egal a x centaine d'euro. 1.Calculer le nbre d'objet demandés , a l'unité prés , lorsque le prix unitaire est fixé a 200 euro. ->Pour x=2 , on obtient f(x)=(2+8)e^-0.5*2 = 10e^-1 = 3.679 au millieme prés donc ; Si le prix unitaire est de 200 euro , le nbre d'objet demandé = 3679 2.Valeur de la demande moyenne lorsque le prix unitaire est compris entre 200 et 400 euros : -> La demande moyenne est la valeur moyenne Vm de la fonction f sur l'intervall [2;4] , on a donc en millier d'objet ; 4 Vm= 1/4-2 S f(x) dx = 1/2 I 2 En utilisan le resulta obtenue en A.3 on obtient ; Vm=1/2 * 5.04 = 2.52 a 0.01 pres . Lorsque le prix unitaire est compris entre 200 et 400 la demande moyenne est egal a 2520 objet a 10 objet pres. 3.Elasticité E(x) de la demande a.Demontrons que E(x)=(-0.5x^2-3x) / (x+8) d'apres l'ennoncé on a : E(x)=f'(x) / f(x) x Pour tt reel x de [0;+inf[ E(x)=[(-0.5x-3)e^-0.5x / (x+8)e^-0.5x ] x on simplifie et E(x) = (-0.5x^2-3x) / (x+8) b. Signe de E(x) sur [0;+inf[ Pour tt reel x de [0;+inf[ , -0.5x-3 < 0 x > 8 x> 0 Donc E(x) strictement negatif si x>0 , et E(x) est nul si x=0 --> INTERPRETATION : On vient de montrer que pr tout reel x>0 , E(x) est strict negatif , ce qui signifie que si le prix unitaire x augmente de 1% alors la demande f(x) diminue . c. Calcul du prix unitaire pr lequel l'elasticité est egal à -3.5 . Resolvons ds l'equation E(x) = -3.5 . Pour tout reel x > 0 , (-0.5x^2-3x) / (x+8) = -3.5 Dans [0;+inf[ , x+8 est non nul , donc on a -0.5x^2-3x = -3.5(x+8) -0.5x^2+0.5x+28= 0 x^2-x-56= 0 Delta = 1+4*56=225=15^2 -> 2 racines distinctes car positif avec X1= (1+15)/2 = 8 et X2 = (1-15)/2=-7 Seule la solution positive est solution ds [0;+inf[ de l'equation E(x)=-3.5 L'elasticite E(x) est egal a -3.5 lorsk le prix unitaire est egal a 800 eurs. d.Comment evolue la demande lorsque le prix passe de 800 a 808 euro ? -> lorske le prix unitaire passe de 800 a 808 eur il augmente de 1% [f(8.08)-f(8)]/f(8) = -3.5/100 = 3.5 % Donc lorsque le prix unitaire pass de 800 a 808 eurs , la demande baisse de 3.5% .ÿ…ð