**TI82** TxtView file generated by CalcText - Kouri-EqxDiffÿLes 2 demos T*SEquation differentielle y’=ay Th : Le solutions de l’eq* dif* y’=ay sont les fcts du type : ke^ax K constante réelle fixée Dem : Soit f(x) e^ax,cette fct est derivable sur R et pur tout reel x,on af’(x)=af(x) On en deduit que f est sol de l’equation y’=ay D’autre part,si k reel fixé,la fonction g(x)=ke^ax Est encore solution de l’equation,puisque pour tout reel x,on a : G’(x)=kf’(x)=kaf(x)=akf(x)=ag(x) On cherche les fonctions derivables y solutions de cette equation sous la forme : Y(x)=z(x)e^ax ,ou z la fonction a determiner. Du fait que pour tout reel x,e^ax different 0,et que les fcts y et f sont deriv* sur R alors la fonction z l’est aussi,ainsi pour tout reel x : Y’(x)=z’(x)e^ax+az(x)e^ax ,soit y’(x)=e^ax(z’(x) +az(x) ) avec ay(x)=az(x)e^ax Or, la fonction y est solution,si,et seulement si,pour tout reel x,y’(x)=ay(x) La fonction est donc solution si ,et seulement si, pour tout reel x : E^ax[z’(x) +az(x)]= az(x)e^ax Ce qui equivaut à e(exposant ax)z’(x)=0.La fonction z est donc constante sur R :il existe un reel k,tel que pour tout reel x,z(x)=k et donc tel que y(x)=ke^ax Equation differentielle y’=ay+b les solutions sur R a et b reeel non nul, de l’equation differentiellle de y’= ay+ b sont les fonctions definies par y= k exposan ax –b/a demonstration f(k)x = k exposan ax –b/a fk derivable sur R et f’(k)x= ka exposan ax afk(x+b)= a(ke exposan ax – b/a) +b = ka exposan ax –b + b dc afk(x)+b=f’k(x) dc f(k) solution soit g solution de (E) f definie sur R f(x)=g(x)+b/a f soulution de y’=ay f est derivable sur R et f’(x) = g’(x) comme g solution de (E) sur R g’(x) = ag(x) +b f’(x)= ag(x) + b f’(x)= a(f(x)-b/a) +b f’(x)= af(x) dc f solution de y’=ay sur R dc f(x)= k exposan ax g(x)= ka exposan ax –b/a dc g(x)=fk(x) ÿÒb