**TI82** TxtView file generated by CalcText - KouriØ, É,demos1É,Ç,ÿdémos maths - ¥Z ,­ #IThéorème des gendarmes#I #1 dans le cas ou la variable où x tends vers l'infini.#2 #1Soit †>0 quelconque. Comme lim(u(x),x,+¾) = l, alors il existe un intervalle de la forme ]m;+¾[, inclus dans ]€;+¾[,sur lequel l-†‰, l-†0, on peut donc conclure que lim(f(x),x,+¾)=l.#2 #IThéorème de la bijection#I unicité de la solution #1Supposons que l'équation f(x)=k ait deux solutions distinctes c et c' dans [a,b]. Deux cas possibles: -1er cas: cc' Mais alors f(c)>f(c'). Ce qui contredit à nouveau que f(c)=f(c')=k. L'hypothèse émise au départ est donc fausse. Donc l'équation f(x)=k n'a qu'une seule solution.#2 #IDérivation d'une fonction composée#I #1ignorer les "." dans les formules après les "°". Le y doit être remplacé par un grand X pour une démonstration plus académique.#2 Soit x un réel quelconque appartenant à I et distinct de a. Alors : &E(v°u(x)-v°u(a))/(x-a) = &E((v°u(x)-v°u(a))/(u(x)-u(a)))*(((u(x)-u(a))/(x-a))) Etudions la limite de chacun de ces deux quotients lorsque x tend vers a : Comme u est dérivable en a, &Elim(((u(x)-u(a))/(x-a))=u'(a),x,a) Par ailleurs, en posant Y=u(x), on a &E(v°u(x)-v°u(a))/(u(x)-u(a)) = &E(v(u(x))-v(u(a)))/(u(x)-u(a)) = &E(v(Y)-v(b))/(Y-b) #1Or lim(u(x),x,a)=u(a)=b car u est continue en a (puisque dérivable en a) et#2 &Elim((v(Y)-v(b))/(Y-b),Y,b)=v'(b) car v est dérivable en b. Donc par composition : &Elim((v°u(x)-v°u(a))/(u(x)-u(a)),x,a)=v'(b) Par produit, on peut donc conclure que : &Elim((v°u(x)-v°u(a))/(x-a),x,a)=u'(a)*v'(b) = &Eu'(a)*v'(u(a)) La fonction v°u est donc dérivable en a et son nombre dérivé en a est &Ev'(a)=u'(a)*v'(u(a)) #IUnicité de l'équation y'=y avec condition initiale y(0)=1#I #1Soient f et g deux fonctions dérivables sur R et répondant toutes deux aux conditions y'=y y(0)=1 -Soit ‘ la fonction définie sur R par : ‘(x)=f(x)*f(-x). Cette fonction est dérivable sur R comme produit de deux fonctions dérivables sur R et ‘'(x)=f'(x)*f(-x)+f(x)*(-f'(x)) Mais d'après l'hypothèse f'=f, f'(x)=f(x) et f'(-x)=f(-x) pour tout réel x. On démontre ainsi que ‘' est la fonction nulle sur R. Par conséquent ‘ est constante sur R. Or ‘(0)=f(0)*f(0)=1. Donc ‘ est constante et égale à 1 sur R. -Soit maintenant la fonction ’ définie sur R par : ’(x)=f(-x)*g(x). Cette fonction est encore dérivable sur R et ’'(x)=-f'(x)*g(x)+f(-x)*g'(x) Compte tenu des hypothèses sur f et g, f'=f et g'=g, pour tout réel x f'(-x)=f(-x) et g'(x)=g(x). Il en découle que ’' est la fonction nulle. Donc ’ est constante sur R et comme ’(0)=f(0)*g(0)=1,’ est égale à 1 sur R. -Les fonctions ’ et ‘ sont donc égales à 1 sur R, c'est-à-dire que pour tout réel x, f(-x)*f(x)=f(-x)*g(x)=1. On en déduit deux choses : -D'abord que quel que soit le réel x, le produit f(-x)*f(x) est non nul et donc quelque soit x appartient à R, f(-x)0. -Puis en divisant chaque membre par f(-x) ( ce qui est licite puisqu'on vient de prouver qu'il est différent de 0) que, pour tout réel x, f(x)=g(x). Les fonctions f et g sont donc égales. Ce qui prouve l'unicité . #2 #ILimite de exp(x) en +¾#I Introduisons la fonction ‘ définie sur R par ‘(x)=e#1#Ex#E#2-x. ‘ est la somme de deux fonctions dérivables sur R donc elle est elle-même dérivable sur R et ‘'(x)=e#1#Ex#E#2-1. Comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur R et que –#1#E0#E#2=1,on en déduit que quelque soit x<0, e#1#Ex#E#2>1 et que quelque soit x>0, e#1#Ex#E#2>1. Donc ‘' est strictement négative sur ]-¾;0[ et strictement positive sur ]0;+¾[. Donc la fonction ‘ est strictement décroissante sur R#1#E-#E#2 et strictement croissante sur R#1#E+#E#2. Elle atteint donc son minimum pour x=0. Or ‘(0)=1, donc quelque soit x appartient à R, ‘(x)ž1. La fonction ‘ est donc strictement positive. D'où quelque soit x appartient à R, e#1#Ex#E#2>x. On peut maintenant utiliser le théorème de comparaison : lim(x,x,+¾) donc lim(e#1#Ex#E#2,x,+¾)=+¾ #ILimite de exp(x)/x en +¾#I Pour la deuxième limite, utilisons à nouveau le théorème de comparaison : on a prouvé ci-dessus que pour tout réel X, e#1#EX#E#2>X. Soit x un réel quelconque; écrivons l'inégalité précédente pour X=x/2 : &E–^(x/2)>x/2 Si en plus, on suppose x positif, les deux membres de l'inégalité précédente seront positifs et ils seront rangés dans le même ordre que leurs carrés ; d'où : quelque soit xž0, &E(–^(x/2))^2>(x/2)^2 Il en découle que quelque soit xž0, &E(e^x)>(x/4) Donc: &E(e^(x)/x)>(x/4) On peut maintenant conclure par le théorème de comparaison : &Elim((x/4),x,¾) =+¾ donc &Elim((–^x)/x,x,¾) =+¾ #ILimite de exp(x) en -¾#I #1Le y doit être remplacé par un grand X #2 Les deux limites suivantes s'obtiennent à l'aide du théorème de composition : Posons y=-x. Alors &Ee^x=e^(­y) = &E1/e^(y) Or &Elim(­x,x,­¾) =+¾ &Elim(1/e^(y),y,¾) =0 car &Elim(e^y,y,¾) =+¾ donc par composition &Elim(e^x,x,­¾) =0 #ILimite de x*exp(x) en -¾#I #1Le y doit être remplacé par un grand X #2 De même &Exe^x = &E­y*e^(­y)=­y/e^y Or lim(-x,x,-¾)=+¾ et &Elim(­(y/e^(­y)),y,¾) = &Elim(­(1/((e^y)/y)),y,¾) =0 car &Elim((e^y)/y,y,¾) =+¾ donc par composition &Elim(x*e^x,x,­¾) =0 #I#1Existence et unicité de la solution de y'=ay+b avec condition initiale#2#I -Soit c un réel quelconque et f la fonction définie sur R par &Ef(x)=c*e^(a*x)-b/a Démontrons que f est solution de l'équation y'=ay+b. La fonction f est dérivable sur R et pour tout réel x, &Ef'(x)=a*c*e^(ax) Or : quelque soit x qui appartient à R &Ea*f(x)+b = &Ea*(c*e^(ax)-b/a)+b = &Ef'(x) Donc : &Ea*f(x)+b=f'(x) Ce qui signifie que f(x) est solution de l'équation différentielle y'=ay+b. -Inversement, soit f une solution de l'équation différentielle y'=ay+b. Introduisons la fonction g définie par : &Eg(x)=f(x)+b/a g est dérivable sur R et pour tout réel x, g'(x)=f'(x). Or &Ea*g(x)=a*(f(x)+b/a) = &Ea*f'(x) puisque f est solution de l'équation y'=ay+b. Donc pour tout réel x, ag(x)=g'(x). Donc g est solution de l'équation différentielle : y'=ay. Par conséquent, il existe un réel c tel que pour tout réel x, &Eg(x)=c*e^(a*x) Alors, f(x)= &Eg(x)-b/a=c*e^(a*x)-(b/a) pour tout réel x. #ILimite en ln(x) en +¾#I #1Pour démontrer que lim(ln(x),x,¾), il suffit de prouver que ln(x) peut dépasser n'importe quel réel, pour x suffisamment grand. Soit donc un réel A quelconque, alors#2 ln(x)>A <=> e#1#Eln(x)#E#2>e#1#EA#E#2 <=> x>A Ceci prouve qu'en prenant x plus grand que M=e#1#EA#E#2, on aura l'assurance que ln(x)>A. D'où lim(ln(x),x,¾)=+¾ #ILimite de ln(x)/x en -¾#I #1Le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers +¾, donc il s'agit d'une forme indéterminée. Mais lors de la démonstration de la continuité de f, on a prouvé que pour tout réel a strictement positif ln(a)œa-1. On en déduit que quelque soit a>0, ln(a)0, &Eln(¨(a))<¨(x) Or pour tout x>0, &Eln(¨(x))<¨(x) <=> &Eln(x)<2¨(x) <=> &Eln(x)/x<(2¨(x))/x <=> &Eln(x)/x<2/¨(x) et pour tout x>1, on a donc 0< &Eln(x)/x<2/¨(x) Mais &Elim(2/¨(x),x,¾)=0 donc d'après le théorème des gendarmes, &Elim(ln(x)/x,x,¾)=0 #ILimite de ln(x) en 0#1#E+#E#I #1Le y doit être remplacé par un grand X et les limites en 0 sont toutes en 0#E+#E#2. On utilise le théorème de composition en posant &Ey=1/x Alors pour tout x>0 &Ex=1/y et ln(x)= &Eln(1/y) = &E­ln(y) Or &Elim(1/x,x,0) =+¾ lim(-ln(y),y,¾)=-¾ donc par composition lim(ln(x),x,0#1#E+#E#2)=-¾ #ILimite de x*ln(x) en 0+#I #1#WLe y doit être remplacé par un grand X et les limites en 0 sont toutes en 0#E+#E#2.#W #1Comme x tend vers 0 et que ln(x) tend vers -¾, il y a indétermination. Mais avec le même changement de variable, on peut écrire que pour tout x>0#2 xln(x)= &E(1/y)*ln(1/y) = &E(1/y)*(­ln(y)) = &E­(ln(y)/y) Or &Elim(1/x,x,0) =+¾ &Elim(­(ln(y)/y))=0 donc par composition lim(x*ln(x),x,0#1#E+#E#2)=+¾ #ISuite croissante non majorée diverge vers +¾#I #1la suite u indice n est noté (Un)#2 #1Soit (Un) une suite croissante et non majorée. Démontrons que lim(Un,n)=+¾ : Soit A un réel strictement positif quelconque. Comme la suite (Un) n'est pas majorée, il existe au moins un terme Up de la suite tel que Up>A. Mais comme la suite (Un) est croissante, pour tout entier nžp, UnžUp>A. On a donc trouvé un entier p, à partir duquel tous les termes de la suite sont dans l'intervalle ]A;+¾[ . Ce qui démontre que lim(Un,n)=+¾.#2 #IThéorème des gendarmes pour les suites#I #1la suite u indice n est noté (Un)#2 #1Soit n0 le rang à partir duquel UnœVnœWn . Comme les suites (Un) et (Wn) convergent vers l, alors pour tout †>0, il existe un entier n1 à partir duquel Un]l-†;l+†[ et un entier n2 à partir duquel Wn]l-†;l+†[. Il en découle que si n est supérieur ou égal au plus grand des trois nombres n0, n1 et n2 alors l-†b de celui où xb, f étant croissante sur l'intervalle I et donc aussi sur [b;x], on aura, pour tout t[b;x] : f(b)œf(t)œf(x). D'après l'inégalité de la moyenne on en déduit alors que : (x-b)*f(b)œ#2 &E½(f(t),t,b,x) œ(x-b)*f(x) #1Puis en divisant chaque membre par x-b qui est >0 on obtient que : #2 f(b)œ &E(F(x)-F(b))/(x-b) œf(x) Or f étant continue en b,lim(f(x),x,b#1#E+#E#2)=f(b). Donc d'après le théorème des gendarmes, lim((F(x)-F(b))/(x-b),x,b#1#E+#E#2)=f(b) Si x0 on aboutit à #2 f(x)œ &E(1/(b-x))*½(f(t),t,x,b) œf(b) Soit encore f(x)œ (­1/(x-b))*­½(f(t),t,b,x) œf(b) d'où : f(x)œ &E(F(x)-F(b))/(x-b) œf(b) Or toujours par continuité lim(f(x),x,b#1#E-#E#2)=f(b), donc d'après le théorème des gendarmes : lim((F(x)-F(b))/(x-b),x,b#1#E-#E#2)=f(b) Les limites du taux d'accroissement de F en b sont égales à f(b) lorsque x tend vers b#1#E+#E#2 et b#1#E-#E#2, donc lim((F(x)-F(b))/(x-b),x,b)=f(b) #1On en déduit que la fonction F est dérivable en b et que son nombre dérivé en b est f(b). Ceci étant vrai pour tout bI, on peut conclure que F est dérivable sur I et que sa fonction dérivée est f.#2 à‘Êÿÿî