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Consultation du fichier ROC.83p

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Contenu du fichier ROC.83p

Description: Toutes les ROC

Texte:
Théorème : Si une suite (un) est croissante et non majorée, alors lim+00 un = +00
si une suite (un) est
décroissante et non minorée, alors lim+00 un = +00.
Démo : Soit (un) une suite croissante et non majorée.
Par définition, comme (un) est non majorée, pour tout réel A, il existe un terme N u de la suite tel que uN > M .
Mais comme la suite est croissante, pour tout n > N, un > uN .
Nous avons donc prouvé que pour tout réel A, à partir d’un certain rang N, on aura un > M pour n > N ,ce qui
correspond à la définition de tendre vers +00 .
La démonstration est analogue pour -00 .

Théorème : Si deux suites sont adjacentes alors elles convergent et ont même limite L.
De plus on a un £ L £ vn .
Démo : Soient deux suites adjacentes (un) et (vn).
On a n n 0 u £ v £ v car v est décroissante donc majorée par son premier terme : ainsi, la suite u est croissante et
majorée, donc elle converge. On note L sa limite.
On montre de même (faite le) que la suite v est décroissante minorée donc elle converge ; on note L’ sa limite.
Comme on a lim 00( vn-un ) =0, on obtient L – L’ = 0 donc L = L’.
Enfin, la suite u étant croissante, on a n u £ L et comme v décroît, n L £ v d’où un £ L £ vn
Théorème : Soit f, g, h trois fonctions définies sur un intervalle I = [ a ; +00[ telles que f (x) £ h(x) £ g(x) sur I.
Si lim +00f(x )=L= lim +00g(x ), alors h admet une limite en +¥ et on a lim +00h(x )=L
Démo : Soit J un intervalle contenant L.
Comme lim +00f(x ) = L = lim +00g(x ), par définition pour x suffisamment grand f(x) et g(x) sont dans J.
Comme pour tout x f (x) £ h(x) £ g(x) , h(x) est également dans J pour ces mêmes valeurs de x.
Donc h vérifie la définition de lim +00h(x )=L
Théorème des valeurs intermédiaires : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.
Démo :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I avec a £ b .
Soit k un réel compris entre f(a) et f(b). Définissons maintenant deux suites (an) et (bn) :
· On pose a0 = a et b0 = b : on a donc k E [f (a0 ) ; f (b0 )]
· Supposons que les termes an et bn soient construits et tels que kE[ f (an ) ; f (bn ) ], et définissons les
termes suivants (récurrence…). Plaçons nous alors dans l’intervalle [ an ; bn ] et calculons
u=f((an+bn)/2).
Si k est supérieur à u, nous posons an+1=(an+bn)/2, bn+1=bn.
Si k est inférieur à u, nous posons an+1=an, bn+1=(an+bn)/2.
Dans tous les cas on sera sûr que kE [f (an+1 ) ; f (bn+1 )] .
· Par construction, an est croissante, bn est décroissante et en plus, comme à chaque fois on prend le
milieu de l’intervalle, bn+1-an+1=(1/2)(bn-an) .
La suite (bn-an) est donc géométrique de raison ½ donc elle tend vers 0.
· Ces deux suites sont donc adjacentes, donc elles convergent. Notons c leur limite commune.
Comme f est continue, lim00f(an)=lim00f(bn)=f(c). Enfin, pour tout n, f (an ) £ k £ f (bn ) par construction, et d’après le théorème des gendarmes,
k=lim+00f(an)=lim+00f(bn)=f(c).
Théorème des valeurs intermédiaires (bis) : Soit f une fonction continue, strictement monotone sur un
intervalle I, a et b deux réels de I. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un unique réel c compris
entre a et b tel que f(c) = k.
Démo : L’existence de c a été démontrée ci-dessus. Démontrons maintenant son unicité pour les fonctions
strictement monotones.
Supposons que f est strictement croissante par exemple.
Soit c’ un autre antécédent de k.
Si c < c’, par monotonie de f, f(c) < f(c’), cad k < k ! Absurde !
Il est clair que si c > c’, la même absurdité apparaît. On a donc c’ = c, d’où l’unicité.
Théorème : Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a un point de I.
Alors il existe une unique primitive F de f sur I telle que F(a) = 0 : cette primitive sera notée ( ) ( )
x
a
F x = ∫ f t dt .
Démo :
Existence : D’après le théorème précédent, l’existence d’une primitive de f sur I est établie. Soit donc G une
primitive de f sur I. Alors, la fonction F(x) = G(x) – G(a) est bien une primitive de f qui s’annule en a.
Unicité : Soient F et G deux primitives de f sur I telles que F(a) = G(a) = 0.
On a F’(x) = G’(x) = f(x) donc sur I, (F-G)’ = 0 donc la fonction F – G est constante sur I : il existe donc un
réel k tel que F = G + k.
Comme F(a) = G(a), on trouve k = 0 et donc F = G. F est bien unique.
Théorème : Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que f ’ = f et f(0) = 1.
Résultat Préliminaire : Si f est une fonction dérivable sur ℝ telle que f ’ =k f et f(0) = 1 alors f ne
s’annule pas sur ℝ .
Démo : Soit g(x) = f(x)f(-x), dérivable sur ℝ .
On a g’(x) = f ’(x)f(-x) –f(x)f ’(-x) = kf(x)f(-x) –f(x)( kf(-x) ) = 0 : g est donc constante et comme
g(0) = 1, pour tout x on a g(x) = 1.
Comme g(x) = f(x)f(-x), f ne peut donc pas s’annuler. □
Unicité
Soient f et g deux fonctions solution de notre équation y’ = y avec f(0) = g(0) = 1 : posons alors
h=f/g (g ne
s’annule pas, résultat préliminaire), fonction dérivable sur ℝ .
On a h'=(f'g-g'f)/g2=(fg-gf)/g2=0 puisque f’ = f et g’ = g : la fonction h est donc constante sur ℝ , et comme
h(0) = 1, pour tout x, f(x)/g(x)=1 d’où f = g. L’unicité est démontrée.
Existence
® L’existence est en général (plus ou moins démontrée) à l’aide de la méthode d’Euler et des approximations
affines.
Nous allons ici démontrer l’existence de cette fonction d’une manière « plus propre », à l’aide du logarithme
népérien.
· La fonction 1/x est continue sur ]0 ; +¥[ , elle admet donc une unique primitive qui s’annule en 1 sur
cet intervalle (théorème précédent) : nous notons ln(x) cette fonction, et donc ln(1) = 0.
Par dérivation des fonctions composées on a : (ln[f])'=f'/f· Comme f ne s’annule pas (résultat préliminaire), l’équation f’ = f devient alorsf'(x)/f(x)=1 -> ln([f(x)])=x+K par intégration. De plus, comme f(0) = 1, il vient ln 1 = 0 + K ⇒ K = 0 .
Ainsi, ln f [(x)] = x .
· Remarquons maintenant que la fonction ln est bijective (à l’aide du TVI) et a donc une fonction
réciproque.
Nous l’appelons exponentielle, notée exp(x) : ainsi [f (x)] = exp(x)Û f (x) = ±exp(x) .
· Comme f(0) = 1, on en déduit que f (x) = exp(x) , et par construction exp(x) est solution de f’ = f.
Propriété : L’exponentielle ne s’annule pas sur ℝ et on a exp(-x) = 1/exp(x)
.
Démo : Avec g(x) = f (x) f (-x) , nous avons prouvé que g(x) = 1 d’où le second résultat.□
Propriété : L’exponentielle est strictement positive sur ℝ .
Démo : Supposons le contraire cad qu’il existe un réel a tel que exp(a) £ 0 : on a forcément exp(a) < 0
puisque exp ne s’annule pas.
Mais la fonction exp est continue sur ℝ (car dérivable) et on a exp(0) = 1 > 0, exp(a) < 0 donc d’après le TVI,
0 admet un antécédent entre 1 et a : absurde car exp est toujours non nul.□
Propriété : L’exponentielle est strictement croissante sur ℝ .
Démo : évident puisque exp’(x) = exp(x) > 0. □
Propriété : Pour tout réel a et b, exp(a+b) = exp(a)exp(b).
Démo : posons g(x) = f (x + a)f (-x) : g est dérivable et
g'(x) = f '(x + a)f (-x) + f (x + a)(-f '(-x)) = e(x+a)e(-x) - e(x+a)e(-x) = 0 .
g est donc constante et comme g(0) = exp(a), pour tout x on a
g(x) = g(a)ssi exp(x + a)´exp(-x) = exp(a)ssi exp(x + a) = exp(x)´exp(a) puisque exp(-x) = 1/exp(x).
Théorème : Soit a un réel. Les solutions de l’équation différentielle y’ = ay sont les fonctions de la forme
f (x) = Ke(ax) , KEℝ .
Démo
On a y’ = ay soit y'/y=a -> ln[y]=ax+Kssi[y]=e(ax+K)=e(K)e(ax)ssi y=±Ce(ax) , C réel positif non nul. □
Théorème : Soient a et b deux réels (donc constants !). Soit (E) l’équation différentielle y’ = ay + b.
Il existe une unique fonction f solution de (E) et telle que 0 0 f (x ) = y .
Démo
® Cherchons une solution particulière de (E) qui soit constante. Posons f(x) = c.
0 f est solution de (E) si 0 = ac + b donc la fonction f0(x)=-b/a est une solution particulière de (E).
® Ainsi, f est solution de(E) ssi f'-af=b=f0'-af0ssi(f-f0)'=a(f-f0) donc ssi la fonction f - f0 est
solution de l’équation y’ = ay.
® D’après le théorème précédent, on en déduit qu’il existe un réel K tel que f (x) - f0 (x) = Ke(ax) et donc, les
solutions de (E) sont les fonctions f (x) = Ke(ax) + f0 (x) , K réel.
® A l’aide de la condition initiale f(x0 ) = y0 , on définit alors K de manière unique.

[ Langue: fr - Auteur: Léa (termS) ]

Utilisation du fichier sur une calculatrice

Pour pouvoir lire ce fichier sur une calculatrice Ti82, Ti83, ou Ti83+, vous devez télécharger les deux programmes ci-dessous:

Suivez à présent ces étapes :

  • Si vous possédez une Ti83 ou une Ti83+:
    1. Décompressez les fichiers ion.zip et txtviewAV.zip à l'aide d'un utilitaire du type Winzip.
    2. Ouvrez votre logiciel de transfert Ti-PC, puis connectez votre cable (si vous n'en possédez pas, vous pouvez en acquérir un à partir de 6 euros sur les enchères de france83.com: voir la pub en haut de la page).
    3. Envoyez les fichier Ion.83g (ou ion.8xg si vous avez une Ti83+), Txtview.83g (ou Txtview.8xg si vous avez une Ti83+) et ROC.83p sur votre calculatrice.
    4. Sur votre calculatrice, lancez le programme nommé "ION", un programme nommé "A" est généré.
    5. Lancez le programme nommé "A". "Textview" apparait alors dans le menu qui s'affiche. Cliquez dessus. Vous voyez un nouveau menu s'ouvrir. La description du programme que vous venez de télécharger y apparait. Cliquez dessus. Votre texte s'affiche sur l'écran !

  • Si possédez une Ti82:
    1. Décompressez les fichiers crash.zip et txtview82.zip à l'aide d'un utilitaire du type Winzip.
    2. Ouvrez votre logiciel de transfert Ti-PC, puis connectez votre cable (si vous n'en possédez pas, vous pouvez en acquérir un à partir de 6 euros sur les enchères de france83.com: voir la pub en haut de la page).
    3. Envoyez les fichiers Crash.82b (attention ceci effacera toutes les données enregistrées sur votre calculatrice!) puis TxtView.82p et ROC.83p sur votre Ti
    4. Lancez le programme nommé "Crash". "Textview" apparait alors dans le menu qui s'affiche. Cliquez dessus. Vous voyez un nouveau menu s'ouvrir. La description du programme que vous venez de télécharger y apparait. Cliquez dessus. Votre texte s'affiche sur l'écran !
Options relatives à textview

Une fois les étapes précédentes réalisées, vous voilà sur le programme textview. Ce programme propose plusieurs options qui vous permettent de lire le fichier que vous venez de télécharger. Voici les boutons de votre calcultrice à presser pour obtenir l'action indiquée:

  • (quand vous êtes sur ION ou sur CRASH (Ti82), cliquez sur [MODE] pour quitter ION)
  • Quand vous êtes dans le menu principal de Textview:
    • [flèche "haut"] : faire monter le curseur de sélection
    • [flèche "bas"] : faire descendre le curseur de sélection
    • [flèche "droite"] : change de page (s'il y'a plus de 9 fichiers sur la calculatrice)
    • [CLEAR] : retourner vers ION
  • Quand vous lisez un fichier avec textview:
    • [flèches] : faire défiler le texte sur l'écran
    • [DEL] : aller en haut de la page
    • [STAT] : aller en bas de la page
    • [2nd] + [flèche "gauche"] : aller à gauche de la page
    • [2nd] + [flèche "droite"] : aller à droite de la page
    • [TRACE] : retour au début du texte
    • [GRAPH] : aller à la fin du texte
    • [MODE] : retour à la ligne automatique
    • [X,T,0] : afficher le texte en plus petit
    • [Y=] : inverser les couleurs de l'écran
    • [CLEAR] : retour vers le menu principal de Textview
  • IMPORTANT: ne pressez jamais [2nd], [ON] pour éteindre votre calculatrice alors que vous êtes encore sous txtview, sans quoi votre calculatrice "plantera" et toutes les données enregistrées en mémoire seront perdues !
TTT, Text To Ti, est un programme réalisé par guillaume renard (france83.com) adapté du logiciel calctext de kouri (encore merci kouri!). Tous droits réservés à leurs auteurs. Les images et les textes du site sont protégés par copyright. © Guillaume Renard - 2002. Ti82, Ti83, Ti83+ sont des marques déposées par le groupe Texas Instrument. France83.com, le logiciel TTT, Text To Ti, et son auteur ne sont, en aucun cas, affiliés ou partenaires avec le groupe Texas Instrument.