Consultation du fichier Satellit.83p
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Contenu du fichier Satellit.83p
Description: Satellite
Texte:
Deux corps A et B de masses respectives mA et mB séparés d'une distance d=AB exercent l'un sur l'autre des forces opposées attractives, importantes dans l'infiniment grand, négligeables dans l'infiniment petit.
FA/B=G(mAmB)/(AB2) u
Étude du mouvement d’un satellite artificiel autour de la Terre :
Le satellite de masse m, assimilable à un point matériel, est en orbite circulaire autour de la Terre à une altitude h. On suppose que la Terre, de rayon R et de masse M, a une répartition de masse à symétrie sphérique.
Référentiel géocentrique :
Le référentiel géocentrique a pour origine le centre de la Terre et des axes parallèles à ceux du référentiel héliocentrique. Ce référentiel peut être considéré comme galiléen pour des durées de quelques minutes.
Montrons que la trajectoire circulaire implique un mouvement uniforme :
Le satellite n'est soumis qu'à la force de gravitation centripète ; cette force est à chaque instant perpendiculaire à la vitesse et en conséquence sa puissance est nulle. L'énergie cinétique du satellite ne varie pas : donc la valeur de la vitesse est constante ( mouvement uniforme).
Expression de la vitesse v et la période T de ce satellite en fonction de G, M, R, h :
le satellite est soumis à la seule force de gravitation centripète exercée par la planète
F = GMm/(R+h)2 n
M : masse (kg) de la planète ; m : masse du satellite (kg) ; R (m) rayon planète ; h (m) altitude depuis le sol
suivant l'axe n la seconde loi de Newton s'écrit : GMm /(R+h)² = m aN= mv²/ (R+h)
d'où la valeur de la vitesse (m/s): v² =GM / (R+h). indépendante de la masse du satellite Le satellite S.P.O.T. (Satellite sPécialisé dans l’Observation de la Terre), lancé en 1986, évolue à l’altitude h = 832 km.
La période de révolution T du satellite (seconde) est le temps mis par le satellite pour faire un tour et ce d'un mouvement uniforme.
2 p (R+h) =vT
élever au carré, puis remplacer v² par l'expression ci dessus.
4p² (R+h) ² = v² T² = GM/ (R+h) T²
ou T² =4p² /(GM)(R+h)3.
soit T² /(R+h)3 = 4p² / (GM) rapport constant pour une planète donnée.(3ème loi de Kepler)
distance en mètre, période en seconde, masse en kg.
T2 =4p2(R+h)3/(GM) avec R= 6,38 106 m ; h= 8,32 105 m ; G= 6,67 10-11 m3 kg-1 s-2 ; M=5,98 1024 kg.
T2 = 4*3,142*(6,38 106+8,32 105)3 / (6,67 10-11*5,98 1024) =3,71 107 s2 ; T= 6,09 103 s
Cette valeur étant différente du jour sidéral Tj=86164s, SPOT n'est pas géostationnaire
Pour « établir » cette loi, Képler s’appuya sur les observations faites par une autre personne : Tycho Brahé.
Un satellite S, assimilable à un point matériel de masse m, est soumis uniquement à la force gravitationnelle de la Terre. La Terre est considérée come un corps sphérique homogène de rayon R, de masse M et de centre O. La Terre tourne sur elle même, autour de sa ligne des pôles, à la vitesse angulaire W. On ne considère pas son mouvement de révolution autour du soleil.
On travaille dans le référentiel géocentrique et dans le repère cylindrique, où le plan polaire est confondu avec la trajectoire du satellite.
Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu.
On désigne par r(t)= OS, le vecteur position du satellite et par v(t) = dr/dt, sa vitesse.
référentiel galiléen : dans ce référentiel le principe d'inertie ou 1ère loi de Newton s'applique " un point matériel pseudo-isolé demeure dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme".
Le référentiel héliocentrique a pour origine le Soleil et des axes pointant vers des étoiles lointaines qui paraissent fixes.
Le référentiel géocentrique a pour origine le centre de la Terre et des axes parallèles à ceux du référentiel héliocentrique. Ce référentiel peut être considéré comme galiléen pour des durées de quelques minutes. ( La Terre effectue un mouvement de rotation autour d'un axe nord sud)
Expression vectorielle du champ de force f(r) auquel est soumis le satellite :
Le satellite n'est soumis qu'à la force de gravitation attractive exercée par la Terre. La direction de cette force passe toujours par le point O, centre de la Terre : il s'agit donc d'un champ de forces centrales.
f(r) = GMm/r2(-er)
Montrons que la force f qui s'exerce sur le satellite S dérive d'une énergie potentielle de gravitation Ep.
Le travail de la force f(r) ne dépend que des positions initiale et finale ( peu importe le chemin suivi) : la force est conservative.
On peut associer à cette force, une fonction scalaire ou énergie potentielle notée Ep(r), définie à une constante près ; la variation de l'énergie potentielle entre les points A et B est égale à l'opposée du travail de la force f(r) entre ces points.
Wa---b = integ a--b(fdr)=-DEp=Ep(a)-Ep(b)
En prenant B situé à l'infini ( par convention cette énergie potentielle est nulle à l'infini), il vient : Ep = -GMm/r.
Pour éloigner deux masses l'une de l'autre, il faut exercer un travail moteur, opposé au travail de la force de gravitation donc égal à la variation d'énergie potentielle :
DEp >0 ; Ep fin - Ep initial >0 ; or Ep fin tend vers zéro donc Ep initial <0
l'énergie potentielle de gravitation est donc négative quelle que soit la distance r finie
Le signe négatif dans le terme d'énergie potentielle traduit le fait que celle-ci augmente si R croît.
G= 6,67 10-11 SI ; M= 5,98 1024 kg ; R= 6,37 106 m ; masse du satellite m = 1830 kg.
Satellite en orbite circulaire dans le champ de gravitation terrestre :
On considère que le satellite décrit une orbite circulaire à l'altitude h.
Montrons que la trajectoire circulaire implique un mouvement uniforme :
Le satellite n'est soumis qu'à la force de gravitation centripète ; cette force est à chaque instant perpendiculaire à la vitesse et en conséquence sa puissance est nulle. L'énergie cinétique du satellite ne varie pas : donc la valeur de la vitesse est constante ( mouvement uniforme).
Expression de la vitesse v et la période T de ce satellite en fonction de G, M, R, h :
le satellite est soumis à la seule force de gravitation centripète exercée par la planète
M : masse (kg) de la planète ; m : masse du satellite (kg) ; R (m) rayon planète ; h (m) altitude depuis le sol
suivant l'axe n la seconde loi de Newton s'écrit : GMm /(R+h)² = m aN= mv²/ (R+h)
d'où la valeur de la vitesse (m/s): v² =GM / (R+h). indépendante de la masse du satellite
La période de révolution T du satellite (seconde) est le temps mis par le satellite pour faire un tour et ce d'un mouvement uniforme.
2 p (R+h) =vT
élever au carré, puis remplacer v² par l'expression ci dessus.
4p² (R+h) ² = v² T² = GM/ (R+h) T²
ou T² =4p² /(GM)(R+h)3.
soit T² /(R+h)3 = 4p² / (GM) rapport constant pour une planète donnée.(3ème loi de Kepler)
distance en mètre, période en seconde, masse en kg.
Déterminons l'altitude qu'il faut atteindre pour obtenir la période de rotation de 101 min de spot 1:
T= 101 min = 101*60 = 6060 s ; G= 6,67 10-11 SI ; M= 5,98 1024 kg ;
(R+h)3 = T2GM/(4p2)=60602 * 6,67 10-11 * 5,98 1024 / (4*3,142)=3,72 1020 .
R+h = 7,19 106 m ; h = 7,19 106- 6,37 106 = 8,18 105 m = 818 km.
Calcul de la vitesse du satellite :
v=[GM/(R+h)]½ =[6,67 10-11 * 5,98 1024 / 7,19 106 ]½ = 7,45 103 m/s, inférieure à la vitesse de libération terrestre.
La vitesse de libération d'un corps quittant la Terre est de l'ordre de 11,2 103 m/s. Energie cinétique Ec, énergie potentielle Ep et énergie mécanique Em du satellite dans le référentiel géocentrique en fonction de m et de v :
Ec = ½mv2 ; Ep= -GMm/r avec v2= GM/r soit Ep= - mv2 ; Em = Ec+ Ep= -½mv2 ;
Une relation simple existe entre Em et Ec : Em = - Ec.
Le satellite S a été lancé à partir d'une base terrestre située à la latitude l d'un point P à la surface de la Terre. Exprimons l'énergie mécanique Esol de ce satellite dans le référentiel géocentrique avant son lancement.
La Terre est en rotation d'Ouest vers l'Est à une vitesse angulaire W= 6,28 / (24*3600) = 7,3 10-5 rad/s.
La vitesse linéaire transmise par la Terre à un corps lancé depuis sa surface est :
à l'équateur : v = W R = 7,3 10-5 * 6,37 106 = 463 m/s.
à la latitude l = 28°N : vl= W R cos l = 7,3 10-5 * 6,37 106 cos 28 = 409 m/s.
Cette vitesse, tangente à la surface du globe est dirigée vers l'Est.
Une base de lancement proche de l'équateur conduit à une vitesse initiale de lancement plus grande que celle d'un site situé à une latitude supérieure. Cela est un énorme avantage : cette vitesse additionnée vectoriellement avec la vitesse de la fusée porteuse, détermine la vitesse finale du satellite.
Le satellite S est lancé à partir d'une base terrestre proche de l'équateur de la Terre.
Expression de l'énergie mécanique Esol de ce satellite dans le référentiel géocentrique avant son lancement :
l'énergie potentielle vaut Ep= -GMm/R ; l'énergie cinétique communiquée par la Terre vaut : Ec = ½mv2 avec v = 463 m/s
l'énergie mécanique vaut : Esol = -GMm/R + ½mv2
Esol =-6,67 10-11*5,98 1024*1830/6,37 106 + 915*4632 = -1,1439 1011 J
Le satellite est lancé depuis Cap Canaveral( l= 28°N).
l'énergie mécanique vaut : Esol = -GMm/R + ½mvl2
Esol =-6,67 10-11*5,98 1024*1830/6,37 106 + 915*4092 = -1,1443 1011 J
Energie mécanique finale du satellite à l'altitude h=818 km : Em=-Ec=-½m*(7,45 103 )2= - 915*(7,45 103 )2= -5,078 1010 J
Energie minimale W0 dépensée pour placer le satellite sur orbite :
Energie mécanique finale - Energie au sol = -5,078 1010 +1,1439 1011 = 6,360 1010 J
Energie minimale Wl, dépensée pour le placer sur orbite :
Energie mécanique finale - Energie au sol = -5,078 1010 +1,1443 1011 = 6,365 1010 J
[ Langue: fr - Auteur: NC (NC) ]
Utilisation du fichier sur une calculatrice
Pour pouvoir lire ce fichier sur une calculatrice Ti82, Ti83, ou Ti83+, vous devez télécharger les
deux programmes ci-dessous:
- Si vous possédez une Ti83 ou une Ti83+:
- Si vous possédez une Ti82:
Suivez à présent ces étapes :
- Si vous possédez une Ti83 ou une Ti83+:
- Décompressez les fichiers ion.zip et txtviewAV.zip à l'aide d'un utilitaire du type Winzip.
- Ouvrez votre logiciel de transfert Ti-PC, puis connectez votre cable (si vous n'en possédez pas, vous pouvez
en acquérir un à partir de 6 euros sur les enchères de france83.com: voir la pub en haut de la page).
- Envoyez les fichier Ion.83g (ou ion.8xg si vous avez une Ti83+), Txtview.83g (ou Txtview.8xg si vous avez une Ti83+) et Satellit.83p sur votre calculatrice.
- Sur votre calculatrice, lancez le programme nommé "ION", un programme nommé "A" est généré.
- Lancez le programme nommé "A". "Textview" apparait alors dans le menu qui s'affiche. Cliquez dessus.
Vous voyez un nouveau menu s'ouvrir. La description du programme que vous venez de télécharger y apparait.
Cliquez dessus. Votre texte s'affiche sur l'écran !
- Si possédez une Ti82:
- Décompressez les fichiers crash.zip et txtview82.zip à l'aide d'un utilitaire du type Winzip.
- Ouvrez votre logiciel de transfert Ti-PC, puis connectez votre cable (si vous n'en possédez pas, vous pouvez
en acquérir un à partir de 6 euros sur les enchères de france83.com: voir la pub en haut de la page).
- Envoyez les fichiers Crash.82b (attention ceci effacera toutes les données enregistrées sur votre calculatrice!) puis TxtView.82p et Satellit.83p sur votre Ti
- Lancez le programme nommé "Crash". "Textview" apparait alors dans le menu qui s'affiche. Cliquez dessus.
Vous voyez un nouveau menu s'ouvrir. La description du programme que vous venez de télécharger y apparait.
Cliquez dessus. Votre texte s'affiche sur l'écran !
Options relatives à textview
Une fois les étapes précédentes réalisées, vous voilà sur le programme textview.
Ce programme propose plusieurs options qui vous permettent de lire le fichier que vous venez de télécharger.
Voici les boutons de votre calcultrice à presser pour obtenir l'action indiquée:
- (quand vous êtes sur ION ou sur CRASH (Ti82), cliquez sur [MODE] pour quitter ION)
- Quand vous êtes dans le menu principal de Textview:
- [flèche "haut"] : faire monter le curseur de sélection
- [flèche "bas"] : faire descendre le curseur de sélection
- [flèche "droite"] : change de page (s'il y'a plus de 9 fichiers sur la calculatrice)
- [CLEAR] : retourner vers ION
- Quand vous lisez un fichier avec textview:
- [flèches] : faire défiler le texte sur l'écran
- [DEL] : aller en haut de la page
- [STAT] : aller en bas de la page
- [2nd] + [flèche "gauche"] : aller à gauche de la page
- [2nd] + [flèche "droite"] : aller à droite de la page
- [TRACE] : retour au début du texte
- [GRAPH] : aller à la fin du texte
- [MODE] : retour à la ligne automatique
- [X,T,0] : afficher le texte en plus petit
- [Y=] : inverser les couleurs de l'écran
- [CLEAR] : retour vers le menu principal de Textview
- IMPORTANT: ne pressez jamais [2nd], [ON] pour éteindre votre calculatrice alors que vous êtes
encore sous txtview, sans quoi votre calculatrice "plantera" et toutes les données enregistrées en mémoire seront perdues !
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du logiciel calctext de kouri (encore merci kouri!). Tous droits réservés à leurs auteurs. Les images et les textes du site sont
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