Consultation du fichier Maths2.83p
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Contenu du fichier Maths2.83p
Description: Mathématiques
Texte:
RECURRENCE
Une démonstration utilisant cet axiome comporte 3 étapes:
+Montrer que la propriété est vraie pour n0
+prendre pour hypothèse qu'elle est vraie pour un ceratin entier p,avec
pžn0 et démontrer qu'elle est vraie pour l'entier p+1
+propriété vraie pour n0 et héréditaire donc vraie pour tout n
EX RECURRENCE
Montrer que la suit Un définie par U0=1 et, pour tout entier naturel n,
U(n+1)=§(Un+2) est bien définie.
SOL:
notons P(n) la proposition
"Un>0".
+ U0=1>0 donc la proposition P(0) est vraie
+soit n entier naturel.Supposont la proposition P(n) vraie.On a donc:
Un>0 soir Un+2>2
d'ou §(Un+2)>§2>0
Ainsi P(n+1) est vraie donc P(n) est héréditaire
+P(n) vraie pour n=0 et héréditaire donc vraie pour tout n
SUITES
Suites Arithmétique:
U(n+1)=Un+r
Si 1er rang est 0:
Un=U0+nr
si 1er rang est 1:
Un=U1+(n-1)r
Somme: (nb termes*
premier+dernier/2)
avec U0,
S=(n+1)*(U0+Un)/2
Suites Géo:
U(n+1)=Un*q
si 1er rang est 0:
Un=U0*q^n
so 1er rang est 1:
U1*q^(n-1)
Somme: (premier termer*
(1-q^(nb terme)/(1-q)
avec U0:
S=U0*(1-q^(n+1))/(1-q)
Méthode d'étude du sens devariation d'une suite:
* U(n+1)-Un
(si <0,décrois >0,crois)
*U(n+1)/Un
(si >1,crois <1,décrois)
*Un=f(n)
*récurrence
La suite (Un) converge vers le réel L si tout intrevalle ouvert contenat L contient tous les termes de la suit à partir d'un certaint rang.
lim Un=L
+¸
Si la suite ne converge paelle diverge
La suite (Un) est majorée s'il existe une réel M supérieur à tous les termes de la suite,donc tel que,quele que soit n¿N, on ait
UnœM
La suite un est minorée s'il existe un réel m inférieur à tous les termes de la suite,donc tel que,quel que soit n¿N, on ait
Unžm
La suite Un est bornée si elle est à la fois majoréeet minorée
Deux suites Un et Vn sont adjacentes si l'une d'entre elles est croissante,l'autre décroissante, et si
lim (Un-Vn)=0
+¸
Si deux suites sont adjacentes,alors elles sont convergentes et elles ont la meme limite
suite définie par
Un+1=f(Un)
Si Un convergente, alors
lim Un = l
De plus, si f est continue
lim f(Un) = f(l)
et comme lim Un = lim Un+1
= lim f(Un)
alors f(l) = l
EX SUR LES SUITES:
Sens de variation ac les fct:
Etudier le sens de variations de la suite (Un) définie pour tout entier n par Un=n-ln(n+1)
Soit f la fonction déf sur[o,+¸[ par f(x)=x-ln(x-1)
f est dériv sur [0,+¸[ et,pour tout x ¿[0,+¸[
f'(x)=x/(1+x)
f'(0)=0 et pour tout x>0,
f est stricetement crois sur [0,+¸[
(n+1)>n => f(n+1)>f(n)
=> U(n+1)>Un
donc Un est croissante
Etudier sens variation ac
U(n+1)-Un:
Soit Un la suite déf pour tout entier naturel n par
Un=-2(n-1)®. Etudier sens varation:
Pour tout entier naturel n, on a U(n+1)-Un= -4n+2
Si nž1 alors -nœ-1 donc -4n+2œ-2 d'ou U(n+1)-Un>0
De pus U(0)=-2 et U1=0
On peut en déduite que la suite Un est strectement décroissante à partir du rang 1
Ex type bac:
On considere la suite U def par
{U0=0
{U(n+1)=§(2+Un) pr tt nž0
1)Montrer par récurrence que,pour tout entier,
0œUnœ2
2)Montrer que U est crois
3)Montrer que U est converet déterminer sa limite
1)Il est évident que Unž0 puisque U(n+1)=§(2+Un),
U0=0 et que §xž0
+pour n=0, 0œUoœ2
la prop est vraie pour n=0
+supposons que la pro 0œUnœ2 soit vraie pour un certain n,
0œUnœ2
=> 2 œ2+Unœ 4
=> §2 œ(2+Un) œ§4 ( car la fct § est croissante)
=> 0 œU(n+1) œ2 car §2>0)
La prop est donc héréditaire
+la prop est vraie pour n=0 et héréditaire,elle est vraie pour tout n
2)+U1=§(2+Uo) avec U0=0
=§2 >0
U(n+1)>Un est donc vraire pour n=1
+supposons que U(n+1)>Un vrai pour un certain n
U(n+1)>Un
=> 2+U(n+1)>2+Un
=> §(2+U(n+1))>§(2+Un)
(car fct § est croissante)
=> U(n+2)>Un
la propriété est dc héréditaire
+prop vraie pour n=1 et héréditaire donc vraie pour tout n
3)(Un) est crois et majorée elle est donc convergent
lim U(n+1)=l et lim Un=l
+¸ +¸
donc l=§(2+l)
<=> l®-l+2=0
„=3®
x=-1 x=2
l>0 donc x=2
INTEGRALES
b
A=· f(x) dx * U.A
a
U.A = unités d'aire
L'intégrale est l'aire du domaine sous la courbe délimité par les droites
x=a et x=b
valeur moyenne (si a
b
m= 1 *· f(x) dx
b-a a
Intégration par parties
Soit u et v deux fct dérivables sur l'intervalle I telles que u' et v' soient continuent sur I.Pour tous réels a et b de I on a:
b
· u'(x)*v(x) dx
a
b b
=[u(x)*v(x)] - ·u(x)*v'(x)
a a
u(x)= ---- => u'(x)=-----
v'(x)= --- <= v(x) = ----
Phrase magique:
u et v sont dérivables à
dérivées continues sur I
donc on peut utiliser une intégration par parties
Fonction continue sur I
» infinité de primitives
sur I
x
F(x)=· f(t) dt
a
est l'unique primitive de
d s'annulant en a
Propriétés
b
A=· -f(x) dx si fœ0
a
Chasles
b c c
· f(x)dx+·f(x)dx=·f(x)dx
a b a
a
· f(x) dx=0
a
b a
· f(x) dx = - · f(x) dx
a b
b b b
·(f+g)(x)dx=·(f)dx+·(g)dx
a a a
b b
· (kf)(x)dx=k*·f(x)dx
a a
si f(x) < g (x) alors
b b
· f(x) dx < · g(x) dx
a a
Inégalité de la moyenne
.si mœf(t)œM sur [a;b]
b
m(b-a) œ · f(t)dt œ M(b-a)
a
Calcul de Volume
Soit f une fct continue sur [a,b] et D le domaine délimité par la courbe représentative de f, l'axe des abs et les dts d'éq x=a
x=b. Le volume du solide
de révolution engendré parla rotation de D autour del'axe des abs est
b
· S(z) dx
a
où S(z) est l'aire de
section d'un solide par le
plan de côte z
Si S(z) est un cercle
S(z) = Œ*r2
EXOS
Exemple d'ex calcul aire:
Soit (o,i,j) un repere orthonormé (unité 2cm).Calculer l'aire du domaine délimité ar les dts d'éq x=1
x=— y=0 et la courbe d'éq y=lnx
Sol:
pour tout xž1, lnxž0
Li'are A du domaine est donc —
· lnx dx
1
....
PRODUIT SCALAIRE
xy'-x'y=0
»colineaire
Al kashi sert a determiner un angle
AB=c BC=a AC=b
A^=BAC^ B^=ABC^ C^=BCA^
a^2=b^2+c^2-2bc*cos(A^)
Aire d'un triangle:
S=1/2 bc*sin(A^)
=1/2 ac*sin(B^)
=1/2 ab*sin(C^)
Formule de sinus:
a/sin(A^)=b/sin(B^)=...
Th de la mediane:
MA®+MB®=2MI®+1/2AB®
AB».IH»=cst » dte perpen
MK»=cst » cercle (K,R)
MI».MJ»=0 » cercle de diam IJ
distance d'un point à une droite:
eq: ax+by+c=0
M(x,y)
d(M,eq)=|ax+by+c|/§(a®+b®)
EX AVEC LE PRODUIT SCALAIRE
Cube Classique:
AB».AH»=0 La dte (AB),ortha (AD) et (AE) est orth auplan (AED) elle est dc perpen a tt les dte de ce plan dc a (AH)
Pr Déterrminer 1 equation du cercle C de centre
”(2,3) et tangent a D d'eqax+by+c=0
R=d(”,D)
=|a*x(”)+b*y(”)+c|/§(a®+b®
M(x,y) ¿ C
<=> (”M)=R
<=> (”M)^2=R^2
<=> ((x-2)®+(y-3)®=1/5<=>x®-4x+y®-6y+64/5=0
Dans l'espace, on rajoute une coordonnée et on obtient une sphère
Pour trouver intersection droite et cercle:
on calcul distance du centre du cercle et de la droite:
-si d>R pas d'intersection
-si d
-si d=R un point
Pour Trouver 1vecteur normal a un plan (ABC):
{n».AB»=0
{n».AC»=0
Pr Montrer 4pts non coplanaires:
on détermine l'équation duplan à partir des vecteur AB» , AC» et BC»
A ¿ eq dc d=-ax-by-cz
D ne verifie par eq => noncoplanaire
Pr trouver eq d'un plan P passant par A de vect normal n»:
M ¿ (P) <=> AM».n»=0
Lieux Géométriques:
AB=6
ens des pts MA».MB»=3
Soit I le milieu de [AB]
MA».MA»=3
<=>(MI»+IA»).(MI»+IB»)=3
<=>(MI»+IA»).(MI»-IA»)=3
<=>MI^2-IA^2=3
<=>MI^2=12
<=>MI=2§(3)
ens cherche est sphere de centre I de rayon 2§(3)
AB=6 ens pts MA/MB=3
MA/MB=3
<=>MA=3MB
<=>MA»^2-9MB»^2=0
<=>(MA»+3MB»)(MA»-3MB)=0Soit G1 bary de (A,1) (B,3) et G2 (A,1) (B,ª3)
<=>4MG1.-2MG2=0
<=>MG1.MG2=0
ens cherche:sphere de
diam [G1G2]
DROITES ET PLANS ESPACE
representation param dte
M(x,y,z)¿D
<=>qq soit k¿R,AM»=ku»
<=>k¿R,x-xA=k*xu»
<=>...,y-yA=k*yu»
<=>...,z-zA=k*zu»
VECTEUR DIREC » REPRESEN
VECT NORMAL » PLAN
sphere:
MA».MB»=0
(x-xA)(x-xB)+(y-yA)(y-yB)+(z-zA)(z-zB)=0
Ac les repres param:
2dte orth => n».n'»=0
2dte secantes => syst
disjointes => syst=rien
// => u» et u'» colin
{coplanR => A¿(D) et A
n'appartient pas a (D')
=> D et D' = plan P
{eq carte » A¿(D),B¿(D'), uD»
AB» et u» non colinR dc
couple vect direct de P
cherchons n»(a,b,c) normal a P
n».u=0 AB».n»=0 ....
P est le plan passant par A et admettant n» comme vect normal
M(x,y,z) E P
<=>AM».n»=0
EX AVEC REPRESENTATIONS PARAMETRIQUES
Position relative 2dts:
on cherche un vect direc
de chaque représentation paramétrique.
u».u'»=0 donc les dts d etd' sont perpendiculaire.
Un pt M(xy,z)¿ 2dts ssi existe (t,t')¿R® tel que:
syst d'équation des deux
dts
Ensuite on fait les équivalences
Position plan/droite:
SOIT on cherche une représentation paramétrique de la droite AB»(...) et ensuite on fait:
M(x,y,z)¿P d'éq... si ses coordonnées verifie P
SOIT A et B¿P
Position relative 2 plans
M¿(P)½(Q))<=>{eq P=0
{eq Q=0
Prenons z comme param.On ales équivalences suivante:
{on exprime y en fct de z et donc on a x
{on pose z=t
Intersection de 3plans:
1pt ou 1plan ou rien
M(x,y,z)¿(P)½(Q)½(S))
<=>syst des 3éq
On en choisit 2, on exprime x et y en fct de z et onpose z=t
[ Langue: fr - Auteur: NC (NC) ]
Utilisation du fichier sur une calculatrice
Pour pouvoir lire ce fichier sur une calculatrice Ti82, Ti83, ou Ti83+, vous devez télécharger les
deux programmes ci-dessous:
- Si vous possédez une Ti83 ou une Ti83+:
- Si vous possédez une Ti82:
Suivez à présent ces étapes :
- Si vous possédez une Ti83 ou une Ti83+:
- Décompressez les fichiers ion.zip et txtviewAV.zip à l'aide d'un utilitaire du type Winzip.
- Ouvrez votre logiciel de transfert Ti-PC, puis connectez votre cable (si vous n'en possédez pas, vous pouvez
en acquérir un à partir de 6 euros sur les enchères de france83.com: voir la pub en haut de la page).
- Envoyez les fichier Ion.83g (ou ion.8xg si vous avez une Ti83+), Txtview.83g (ou Txtview.8xg si vous avez une Ti83+) et Maths2.83p sur votre calculatrice.
- Sur votre calculatrice, lancez le programme nommé "ION", un programme nommé "A" est généré.
- Lancez le programme nommé "A". "Textview" apparait alors dans le menu qui s'affiche. Cliquez dessus.
Vous voyez un nouveau menu s'ouvrir. La description du programme que vous venez de télécharger y apparait.
Cliquez dessus. Votre texte s'affiche sur l'écran !
- Si possédez une Ti82:
- Décompressez les fichiers crash.zip et txtview82.zip à l'aide d'un utilitaire du type Winzip.
- Ouvrez votre logiciel de transfert Ti-PC, puis connectez votre cable (si vous n'en possédez pas, vous pouvez
en acquérir un à partir de 6 euros sur les enchères de france83.com: voir la pub en haut de la page).
- Envoyez les fichiers Crash.82b (attention ceci effacera toutes les données enregistrées sur votre calculatrice!) puis TxtView.82p et Maths2.83p sur votre Ti
- Lancez le programme nommé "Crash". "Textview" apparait alors dans le menu qui s'affiche. Cliquez dessus.
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Cliquez dessus. Votre texte s'affiche sur l'écran !
Options relatives à textview
Une fois les étapes précédentes réalisées, vous voilà sur le programme textview.
Ce programme propose plusieurs options qui vous permettent de lire le fichier que vous venez de télécharger.
Voici les boutons de votre calcultrice à presser pour obtenir l'action indiquée:
- (quand vous êtes sur ION ou sur CRASH (Ti82), cliquez sur [MODE] pour quitter ION)
- Quand vous êtes dans le menu principal de Textview:
- [flèche "haut"] : faire monter le curseur de sélection
- [flèche "bas"] : faire descendre le curseur de sélection
- [flèche "droite"] : change de page (s'il y'a plus de 9 fichiers sur la calculatrice)
- [CLEAR] : retourner vers ION
- Quand vous lisez un fichier avec textview:
- [flèches] : faire défiler le texte sur l'écran
- [DEL] : aller en haut de la page
- [STAT] : aller en bas de la page
- [2nd] + [flèche "gauche"] : aller à gauche de la page
- [2nd] + [flèche "droite"] : aller à droite de la page
- [TRACE] : retour au début du texte
- [GRAPH] : aller à la fin du texte
- [MODE] : retour à la ligne automatique
- [X,T,0] : afficher le texte en plus petit
- [Y=] : inverser les couleurs de l'écran
- [CLEAR] : retour vers le menu principal de Textview
- IMPORTANT: ne pressez jamais [2nd], [ON] pour éteindre votre calculatrice alors que vous êtes
encore sous txtview, sans quoi votre calculatrice "plantera" et toutes les données enregistrées en mémoire seront perdues !
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