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Consultation du fichier expo.83p

Vous pouvez télécharger ce fichier en cliquant sur le lien ci-dessous:

Utilisateurs de Netscape, après avoir cliqué sur ce lien, une page de type texte avec de nombreux caractères peut s'afficher. Cliquez alors sur Fichier/Enregistrez sous. Sélectionnez un dossier et tapez ".83p" puis validez. Votre fichier est alors téléchargé sur votre disque dur.


Contenu du fichier expo.83p

Description: exponentielle

Texte:
expo

lim(+&) exp(x)= +& et lim(-&) exp(x)= 0 lim(exp(x)/x)=+&

ppté :
exp(-x) = 1/exp(x) f(x)*f(-x)=1 ==> exp (-x) = 1/exp(x)
exp(x)+y=exp(x)*exp(y) Z= exp(x+y)/(exp(x)=exp(x+y)*1/(exp(x))=exp(x+y)*exp(-x) on dérive Z'=0 donc Z=exp(0+y)*exp(-o) Z=exp(y)*1
exp(x-y)=exp(x)/exp(y) exp(x-y)=exp(x)*exp(-y)=exp(x)* 1/exp(y)= exp(x)/exp(y)
exp(px)=(exp(x))^p recurrence
exp(a/n)= (exp(a))^1/n

exp est positive sur R exp(x)=exp(x/2 * 2)=exp(x/2)^2 > 0
exp est croissante sur R exp(x)'=exp(x) qui est >0 donc exp(x)' est positif donc exp(x) est croissante

(eu)'-> u'eu

soit g la fonction def sur R par g(x)=ex-x cet focntion est der sur R et pr tt reel x g'(x)=ex-1 or la fonction expo est strict croiss sur R et e0=1 dc pr tt reel x si x>)0 alors ex>)1
on en deduit dc ke pr tt x E[0;+inf[ g'(x)>)0 et donc que la fonction g est croiss sur R+
or g(0)=e0-0=1 dc pr tt x de R+ g(x)>)1 cad ex-x>)1 et donc ex>)x+1
or lim+inf x+1= +inf dc dapré le th comparaison lim+inf ex=+inf

lim(+&) e-x= lim(+&) 1/ex =0 car lim(+&)ex= +&

lim exp(x)-1 / x =1 exp(x) - exp(0) / x = exp(0)=1 [exp(0) est le nbre dérivé en 0 de la fonction expo]

lim exp(x)*x=0 Z=-x lim(-&) Z=+& xexp(x)=-Zexp(-Z)=Z/exp(Z)=1/exp(z)/Z lim(+&) (1/exp(z)/z)=O car lim(exp(x)/x))=+&

lim(+&) exp(x)/ (x^n) = +& soit h la fonction def sur R par h(x)= ex-x²/2 h derivalbe sur R et pr tt x rrel h'(x)=ex-x or on a demontré que pr tt x>)0 ex-x>)1 dc pr tt x >)0 ex-x>0
la fonction h est dc strict croiss sur R+ et comme h(0)=1 pour tout x reel positif h(x)>)1 cad que ex-x²/2>)1 dou ex>)x ²/2+1>x²/2
donc pour x strict positif ex/x>x/2 or lim+inf x/2=+inf dc dapré th comparaison lim+inf ex/x=+inf



th: Soit f une fonction derivable sur R les porp suivantes sont equivalente:
1) pour tt reel a et b f(a+b)=f(a)Xf(b) et f distincte de la fonction nulle
2)f(0)=1 et il existe un reel h tel que f'=hf

demo:
soit f une fonction derivable sur R
Mq 1->2
supp que f n'est pas la fonction nulle et que pr tt reel a et b de R f(a+b)=f(a)+f(b)
Mq f(0)=1
la fonction f n'est pas la fonction nulle donc il existe un réel a tel que f(a) different de 0
on a alors f(a+0)=f(a)Xf(0) d'ou f(a)=f(a)Xf(0) or f(a) diff de 0 donc f(o)=1
Remarque: si le réel h, tel que f' = hf existe alors on a f'(O) =hf(O)= hx1 = h, donc h = f'(O).
Soit a un réel, a fixé, montrons que f '(a) = f '(O)x f( a)
On considère la fonction g(x)= f( a +x)
g est la composée de deux fonctions dérivables sur R donc g est dérivable sur R
et pour tout réel x : g' (x ) = 1x f'(a +x) donc g'(x ) = f'(a + x)
On considère la fonction h(x)= f( a) x f( x )
h est le produit d'une fonction dérivable sur R par un réel donc h est dérivable sur R
et pour tout réel x: h' (x ) = f (a) x f'(x)
Or pour tout réel x, f( a+x) = f( a)x f(x) donc g(x) = h(x) d'où g'(x) = h'(x)
Il en résulte que f' (a + x) = f (a) x f' (x )
En particulier pour x = 0, on obtient: f'(a) = f(a)x f'(O)
Donc en posant h = f '( 0) on a: f '(a) = hf(a) ceci pour tout réel a,
Donc f'= hf

• Montrons que 2 => 1
Supposons que f(O) = 1 et qu'il existe un réel h, tel que f' = hf
On peut remarquer qu'alors: f'(O) = hf(0) = hX1 = h, donc h = f '(0).
Soit a un réel, a fixé, montrons que pour tout réel x f(a+x)x f(-x) = f( a)
On considère la fonction k(x)= f(a+x)x f(-x )
La fonction k est dérivable sur R comme produit des fonctions x-> f(a +x) et x -> f( -x) qui sont
elles-mêmes dérivables sur R (composées de fonctions dérivables).
Et pour tout réel x, k'(x) = 1x f'(a+x)x f(-x)+ f( a+x)x( - f'( -x))
Or f'=hf
Donc k'(x)= hf(a+x)x f( -x)+ f(a+x)x( -hf(-x))
D'où k'(x) = hf(a+x)x f( -x)-hf(a+x)x f( -x)
C'est-à-dire k '(x) = 0
Il en résulte que la fonction k est une fonction constante sur R donc pour tout réel x,
on a: k (x ) = k (0) = f(a) x f(0) = f (a) car f(0)=1
on en déduit que poUr tout réel x: f( a +x) x f ( -x) = f ( a)
conclusion: pour tout réels a et b , f (a +b) x f (-b ) = f (a)'

En prenant a = 0, on obtient: f(b)x f( -b) = 1
Il en résulte que: f(b) diff 0, ceci pour tout réel b f ne s'annule pas sur R et f(-b)=1/f(b)
f(a+b)xf(-b)=f(a) s'ecrit donc f(a+b)x1/f(b)=f(a) ou encore f(a+b)=f(a)xf(b)

th
Il existe une unique fonction f, dérivable sur R, telle que f' = f et f(0) = 1

demo:
Existence:
On admet l'existence d'une solution
Unicité:
On suppose qu'il existe deux fonctions f et g dérivables sur R telles que:
f'=f ; f(0)=1; g'=g et g(O)=1
Montrons que f= g .
Soit h(x) = f(x ).g( -x) définie sur R.
h est dérivable sur R
(car x -> g( -x) est la composée de fonctions dérivables donc h est le produit de fonctions dérivables)
Et pour tout réel x,
h'(x) = f'(x).g( -x)+ f(x).( -g'(-x))
h'(x)= f'(x).g(-x)- f(x).g'(-x)
or f'=f et g'=g donc h'(x)= f(x).g(-x)- f(x).g(-x)
d'où h'(x)=O :
On en déduit que la fonction h est constante sur R
donc pour tout réel x: h( x ) = h ( 0) = f( 0).g (0) = 1
C'est-à-dire: f(X).g(-X)=1
Or on sait que g ( -x) = 1/g(x)
d'ou f(x).1/g(x)=1 donc f(x)=g(x)
On a bien démontré que f= g



demo
Démontrons la proposition P (n ) :"exp (na) = (exp (a))" est vraie pour tout entier naturel n, par
récurrence.
• Pour n = 0 , on a exp (na) = exp (0) = 1 et (exp (a))^n = (exp (a))^0 = 1 donc P(0) est vrai.
• Soit n un entier naturel fixé,
supposons P(n) vrai c'est-à-dire exp (na) = (exp (a))^n
Et montrons qu'alors P(n+ 1) est vrai c'est-à-dire exp((n+ 1)a) = (exp(a)^n+1
On a exp((n+1)a) = exp(na+a)
=exp(na)xexp(a) d'après (1)
= ( exp (a))^n x exp (a) par hypothèse de récurrence
= (exp(a))^n+1
donc P(n+1) est vrai.
ccl: p(0) est vrai et p(n) est hereditaire donc dapré principe de recurence pour tt entier nat n on a exp(na)=(exp(a))^n


th lim-inf x^nex=0
xex=-(-x)e-(-x)=-x/e-x or comme lim+inf ex/x=+inf et lim+inf x/ex=0
lim-inf -x=+inf et limX->+inf -X/eX=0 par compo lim -inf -x/e-x= lim-inf xex=0

im-inf -x=+inf et lim X->+inf e-X=0 par compo lim-inf e-(-x)=lim-inf ex=0




[ Langue: fr - Auteur: Barakat (termS) ]

Utilisation du fichier sur une calculatrice

Pour pouvoir lire ce fichier sur une calculatrice Ti82, Ti83, ou Ti83+, vous devez télécharger les deux programmes ci-dessous:

Suivez à présent ces étapes :

  • Si vous possédez une Ti83 ou une Ti83+:
    1. Décompressez les fichiers ion.zip et txtviewAV.zip à l'aide d'un utilitaire du type Winzip.
    2. Ouvrez votre logiciel de transfert Ti-PC, puis connectez votre cable (si vous n'en possédez pas, vous pouvez en acquérir un à partir de 6 euros sur les enchères de france83.com: voir la pub en haut de la page).
    3. Envoyez les fichier Ion.83g (ou ion.8xg si vous avez une Ti83+), Txtview.83g (ou Txtview.8xg si vous avez une Ti83+) et expo.83p sur votre calculatrice.
    4. Sur votre calculatrice, lancez le programme nommé "ION", un programme nommé "A" est généré.
    5. Lancez le programme nommé "A". "Textview" apparait alors dans le menu qui s'affiche. Cliquez dessus. Vous voyez un nouveau menu s'ouvrir. La description du programme que vous venez de télécharger y apparait. Cliquez dessus. Votre texte s'affiche sur l'écran !

  • Si possédez une Ti82:
    1. Décompressez les fichiers crash.zip et txtview82.zip à l'aide d'un utilitaire du type Winzip.
    2. Ouvrez votre logiciel de transfert Ti-PC, puis connectez votre cable (si vous n'en possédez pas, vous pouvez en acquérir un à partir de 6 euros sur les enchères de france83.com: voir la pub en haut de la page).
    3. Envoyez les fichiers Crash.82b (attention ceci effacera toutes les données enregistrées sur votre calculatrice!) puis TxtView.82p et expo.83p sur votre Ti
    4. Lancez le programme nommé "Crash". "Textview" apparait alors dans le menu qui s'affiche. Cliquez dessus. Vous voyez un nouveau menu s'ouvrir. La description du programme que vous venez de télécharger y apparait. Cliquez dessus. Votre texte s'affiche sur l'écran !
Options relatives à textview

Une fois les étapes précédentes réalisées, vous voilà sur le programme textview. Ce programme propose plusieurs options qui vous permettent de lire le fichier que vous venez de télécharger. Voici les boutons de votre calcultrice à presser pour obtenir l'action indiquée:

  • (quand vous êtes sur ION ou sur CRASH (Ti82), cliquez sur [MODE] pour quitter ION)
  • Quand vous êtes dans le menu principal de Textview:
    • [flèche "haut"] : faire monter le curseur de sélection
    • [flèche "bas"] : faire descendre le curseur de sélection
    • [flèche "droite"] : change de page (s'il y'a plus de 9 fichiers sur la calculatrice)
    • [CLEAR] : retourner vers ION
  • Quand vous lisez un fichier avec textview:
    • [flèches] : faire défiler le texte sur l'écran
    • [DEL] : aller en haut de la page
    • [STAT] : aller en bas de la page
    • [2nd] + [flèche "gauche"] : aller à gauche de la page
    • [2nd] + [flèche "droite"] : aller à droite de la page
    • [TRACE] : retour au début du texte
    • [GRAPH] : aller à la fin du texte
    • [MODE] : retour à la ligne automatique
    • [X,T,0] : afficher le texte en plus petit
    • [Y=] : inverser les couleurs de l'écran
    • [CLEAR] : retour vers le menu principal de Textview
  • IMPORTANT: ne pressez jamais [2nd], [ON] pour éteindre votre calculatrice alors que vous êtes encore sous txtview, sans quoi votre calculatrice "plantera" et toutes les données enregistrées en mémoire seront perdues !
TTT, Text To Ti, est un programme réalisé par guillaume renard (france83.com) adapté du logiciel calctext de kouri (encore merci kouri!). Tous droits réservés à leurs auteurs. Les images et les textes du site sont protégés par copyright. © Guillaume Renard - 2002. Ti82, Ti83, Ti83+ sont des marques déposées par le groupe Texas Instrument. France83.com, le logiciel TTT, Text To Ti, et son auteur ne sont, en aucun cas, affiliés ou partenaires avec le groupe Texas Instrument.