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Consultation du fichier ANALYSE.83p

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Contenu du fichier ANALYSE.83p

Description: ROC

Texte:
SUITES:

1.(limite croissance/
majoration) : Soit (un)
une suite croissante
et non majorée.
Par définition, comme
(un)est non majorée,
pour tout réel A, il
existe un terme
Un de la suite tel que
Un>M .
Mais comme la suite est
croissante, pour tout
n > N, Un>UN .
Nous avons donc prouvé
que pour tout réel A,
à partir d’un certain
rang N, on aura Un>m
pour n > N ,ce qui
correspond à la définition
de tendre vers +infini .
La démonstration est
analogue pour -infini .

2.(adjacentes) : Soient
deux suites adjacentes
(un) et (vn).
On a Un décroissante donc majorée
par son premier terme :
ainsi, la suite u est
croissante et majorée,
donc elle converge.
On note L sa limite.
On montre de même
(faite le) que la suite v
est décroissante minorée
donc elle converge ;
on note L’ sa limite.
Comme on a
lim[n->+infini](Vn-Un)=0,
on obtient L – L’ = 0
donc L = L’.Enfin, la
suite u étant croissante,
on a Un décroît, n L d’où Un

FONCTIONS:

1.(th gendarmes) : Soit
J un intervalle
contenant L.
Comme
lim[x->+infini](fx)=L
=lim[x->+infini](gx),
par définition pour x
suffisamment grand f(x)
et g(x) sont dans J.
Comme pour tout x,
f(x) h(x) est également
dans J pour ces mêmes
valeurs de x.
Donc h vérifie la
définition de
lim[x->+infini](hx)=L.

2. (TVI 1): il s’agit
ici de formaliser le
principe de dichotomie
que vous devez connaître.
Soit f une fonction
continue sur un intervalle
I, a et b deux réels
de I avec a Soit k un réel compris
entre f(a) et f(b).
Définissons maintenant
deux suites (an)et(bn) :
·On pose a(0)=a et b(0)=b :
on a donc k € [f(a0);f(b0)]
·Supposons que les termes
an et bn soient construits
et tels que
k € [f(an);f(bn)] ,
et définissons les
termes suivants
(récurrence…).
Plaçons nous alors dans
l’intervalle [an;bn] et
calculons u=f((an+bn)/2)
Si k est supérieur à u,
nous posons
a(n+1)=((an+bn)/2) ,
b(n+1)=bn
Si k est inférieur à u,
nous posons a(n+1)=an ,
b(n+1)=((an+bn)/2)
Dans tous les cas on
sera sûr
que k € [f(an+1);f(bn+1) .
· Par construction, an est
croissante, bn est
décroissante et en plus,
comme à chaque fois on
prend le milieu de
l’intervalle,
a(n+1)-b(n+1)=1/2(bn-an)
La suite (bn-an)
est donc géométrique de
raison ½ donc elle tend
vers 0.
· Ces deux suites sont
donc adjacentes, donc
elles convergent.
Notons c
leur limite commune.
Comme f est continue,
lim[n->infini]f(an)=
lim[n->infini]f(bn)=c
· Enfin, pour tout n,
f(an) construction, et d’après
le théorème des gendarmes,
k=lim[n->=infini]f(an)=
lim[n->+infini]f(bn)=f(c).

3.(TVI 2): L’existence
de c a été démontrée
ci-dessus.Démontrons
maintenant son unicité
pour les fonctions
strictement monotones.
Supposons que f est
strictement croissante
par exemple.Soit c’ un
autre antécédent
de k.
Si c < c’, par monotonie
de f, f(c) < f(c’),
cad k < k ! Absurde !
Il est clair que
si c > c’,
la même absurdité
apparaît.
On a donc c’ = c, d’où
l’unicité.

4. (u°v): Soient u
et v deux fonctions
dérivables.
On a (u°v(x)-u°v(a))/
(x-a)=(u(v(x))-u(v(a)))/
(x-a)((u(v(x))-u(v(a)))/
(v(x)-v(a))*(v(x)-v(a))/
(x-a).
Posons X = v(x) et
A = v(a) : alors
(u°v(x)-u°v(a))/
(x-a)=(u(X)-u(A))/
(X-A))*
((v(x)-v(a))/(x-a))
Regardons la limite de
ces rapports quand
x tend vers a.
· Comme v est dérivable,
elle est continue et
donc lim[x->a]v(x)=v(a)
Par conséquent,
lim[x->a]=
lim[x->A](u(X)-u(A))/
(X-A))=u'(A)
puisque u est dérivable.
· Comme v est dérivable,
lim[x->a](v(x)-v(a))/
(x-a)=v'(a)
Ainsi, par produit,
lim[x->a](u°v(x)-u°v(a))/
(x-a))=v'(a)*u'(a)=
u'(a)*u(v'(a)).

5.(primitive 1):Soit
D le domaine défini
par l’ensemble des
points M(x ; y) tels que :
{a Soit x0 dans [a ;b],
F(x0) l’aire du
domaine défini par
{a · Pour tout h > 0
tel que x0+h soit
dans I, F(x0+h) - F(x0)
est l’aire du domaine
{x0 · On peut alors
encadrer cette aire
par l’aire du petit
rectangle de coté h/f(x0)
et par l’aire du grand
rectangle de coté h/f(x0+h)
On obtient donc h*f(x0)<
F(x0+h)-F(x0)<
h*f(x0+h) , cad
f(x0)<
(F(x0+h)-F(x0))/h<
f(x0+h)
· Renouvelons cet
encadrement pour
h < 0, il vient:
f(x0+h)<
(F(x0+h)-F(x0))/h<
f(x0)
La fonction f étant
continue, on a
lim[h->0]f(x0+h)=f(x0):
par conséquent,
d’après le théorème
des gendarmes,
lim[h->0](F(x0+h)-
F(x0))/h=f(x0)
Par définition, la
fonction F est donc
dérivable en x0 et
on a F'(x0)=f(x0) .
La fonction f admet
donc une primitive, F.

6. (primitive 2):
.Existence : D’après
le théorème précédent,
l’existence d’une primitive
de f sur I est établie.
Soit donc G une
primitive de f sur I.
Alors, la fonction
F(x) = G(x) – G(a)
est bien une primitive
de f qui s’annule en a.
Unicité : Soient F et G
deux primitives de f
sur I telles que
F(a) = G(a) = 0.
On a F’(x) = G’(x) = f(x)
donc sur I, (F-G)’ = 0
donc la fonction F – G
est constante sur I :
il existe donc un
réel k tel que F = G + k.
Comme F(a) = G(a), on
trouve k = 0 et donc
F = G. F est bien unique.

7.(construction exp):
DEMO.Soit g(x) = f(x)f(-x),
dérivable sur ℝ .
On a g’(x) = f ’(x)f(-x) –
f(x)f ’(-x) = kf(x)f(-x) –
f(x)( kf(-x) ) = 0 :
g est donc constante et comme
g(0) = 1, pour tout x
on a g(x) = 1.
Comme g(x) = f(x)f(-x),
f ne peut donc pas s’annuler.
UNICITE.Soient f et g deux
fonctions solution de
notre équation y’ = y
avec f(0) = g(0) = 1 :
posons alors h=f/g
(g ne s’annule pas,
résultat préliminaire),
fonction dérivable sur ℝ .
On a h'=(f'g-g'f)/h²=
(fg-gf)/h²puisque
f’=f et g’=g :
la fonction h est
donc constante sur ℝ ,
et comme h(0) = 1,
pour tout x,
f(x)/g(x)=1
d’où f = g.
L’unicité est démontrée.
EXISTENCE.
· La fonction 1/x est
continue sur ]0;+infini[ ,
elle admet donc une unique
primitive qui s’annule en
1 sur cet intervalle
(théorème précédent) :
nous notons ln(x) cette
fonction, et donc
ln(1) = 0.
Par dérivation des
fonctions composées
on a : ln(/f/)'=f'/f.
· Comme f ne s’annule
pas (résultat préliminaire),
l’équation f’ = f
devient alors
f'(x)/f(x)=1 =>
ln/f(x)/=x+K
par intégration. De plus,
comme f(0) = 1,
il vient ln1=0+K => K=0 .
Ainsi, ln/f(x)/=x .
· Remarquons maintenant
que la fonction ln est
bijective (à l’aide du TVI)
et a donc une fonction
réciproque.
Nous l’appelons exponentielle,
notée exp(x) : ainsi
f(x)=exp(x) <=>
f(x)= ±(exp(x) .
· Comme f(0) = 1,
on en déduit que f(x)=exp(x) ,
et par construction exp(x)
est solution de f’ = f.

8.(annulation exp): elle a
été faite au paragraphe
précédent (vous devez
savoir la refaire).
Avec g(x)=f(x)f(-x) ,
nous avons prouvé que
g(x) = 1 d’où le second
résultat.

9.(positivité exp)
Supposons le contraire
cad qu’il existe un réel
a tel que exp(a)<0 :
on a forcément exp(a) < 0
puisque exp ne s’annule pas.
Mais la fonction exp
est continue sur ℝ
(car dérivable) et
on a exp(0) = 1 > 0,
exp(a) < 0 donc d’après
le TVI,0 admet un
antécédent entre 1 et a :
absurde car exp est
toujours non nul.

10. (croissance exp)
évident puisque
exp’(x) = exp(x) > 0.

11. (exp(a+b)=exp(a)*exp(b))
posons g(x)=f(x+a)f(-x)
: g est dérivable et
g'(x)=
f'(x+a)f(-x)+
f(x+a)(-f(-x))=
exp(x+a)exp(-x)-
exp(x+a)exp(-x)=0
g est donc constante et
comme g(0) = exp(a),
pour tout x on a
g(x)=g(a) <=>
exp(x+a)*exp(x)=exp(a)<=>
exp(x+a)=exp(a)*exp(x)
puisque exp(-x)=1/exp(x).

EQ. DIFF..

1. (solutions):
On a y’ = ay soit y'/y=a.
=>ln/y/=ax+K <=> /y/=
exp(ax+K)=exp(K)exp(ax)
<=> y=±Cexp(ax)
C réel positif non nul.

2. Cherchons une solution
particulière de (E) qui
soit constante.
Posons f(x) = c.
f0 est solution de (E)
si 0 = ac + b donc
la fonction f0(x)=-b/a
est une solution
particulière de (E).
Ainsi, f est solution
de (E)<=>f'-af=b=f0'-af0
<=>(f-f0')=a(f-f0)
donc ssi la fonction f-f0
est solution de
l’équation y’ = ay.
D’après le théorème
précédent, on en déduit
qu’il existe un réel K
tel que 0 f(x)-f0(x)=
Kexp(ax) et donc, les
solutions de (E) sont
les fonctions f(x)=
Kexp(ax)+f0(x) , K réel.
A l’aide de la condition
initiale f(x0)=y0,
on définit alors K
de manière unique.

[ Langue: fr - Auteur: Mikl_TermS2 (termS) ]

Utilisation du fichier sur une calculatrice

Pour pouvoir lire ce fichier sur une calculatrice Ti82, Ti83, ou Ti83+, vous devez télécharger les deux programmes ci-dessous:

Suivez à présent ces étapes :

  • Si vous possédez une Ti83 ou une Ti83+:
    1. Décompressez les fichiers ion.zip et txtviewAV.zip à l'aide d'un utilitaire du type Winzip.
    2. Ouvrez votre logiciel de transfert Ti-PC, puis connectez votre cable (si vous n'en possédez pas, vous pouvez en acquérir un à partir de 6 euros sur les enchères de france83.com: voir la pub en haut de la page).
    3. Envoyez les fichier Ion.83g (ou ion.8xg si vous avez une Ti83+), Txtview.83g (ou Txtview.8xg si vous avez une Ti83+) et ANALYSE.83p sur votre calculatrice.
    4. Sur votre calculatrice, lancez le programme nommé "ION", un programme nommé "A" est généré.
    5. Lancez le programme nommé "A". "Textview" apparait alors dans le menu qui s'affiche. Cliquez dessus. Vous voyez un nouveau menu s'ouvrir. La description du programme que vous venez de télécharger y apparait. Cliquez dessus. Votre texte s'affiche sur l'écran !

  • Si possédez une Ti82:
    1. Décompressez les fichiers crash.zip et txtview82.zip à l'aide d'un utilitaire du type Winzip.
    2. Ouvrez votre logiciel de transfert Ti-PC, puis connectez votre cable (si vous n'en possédez pas, vous pouvez en acquérir un à partir de 6 euros sur les enchères de france83.com: voir la pub en haut de la page).
    3. Envoyez les fichiers Crash.82b (attention ceci effacera toutes les données enregistrées sur votre calculatrice!) puis TxtView.82p et ANALYSE.83p sur votre Ti
    4. Lancez le programme nommé "Crash". "Textview" apparait alors dans le menu qui s'affiche. Cliquez dessus. Vous voyez un nouveau menu s'ouvrir. La description du programme que vous venez de télécharger y apparait. Cliquez dessus. Votre texte s'affiche sur l'écran !
Options relatives à textview

Une fois les étapes précédentes réalisées, vous voilà sur le programme textview. Ce programme propose plusieurs options qui vous permettent de lire le fichier que vous venez de télécharger. Voici les boutons de votre calcultrice à presser pour obtenir l'action indiquée:

  • (quand vous êtes sur ION ou sur CRASH (Ti82), cliquez sur [MODE] pour quitter ION)
  • Quand vous êtes dans le menu principal de Textview:
    • [flèche "haut"] : faire monter le curseur de sélection
    • [flèche "bas"] : faire descendre le curseur de sélection
    • [flèche "droite"] : change de page (s'il y'a plus de 9 fichiers sur la calculatrice)
    • [CLEAR] : retourner vers ION
  • Quand vous lisez un fichier avec textview:
    • [flèches] : faire défiler le texte sur l'écran
    • [DEL] : aller en haut de la page
    • [STAT] : aller en bas de la page
    • [2nd] + [flèche "gauche"] : aller à gauche de la page
    • [2nd] + [flèche "droite"] : aller à droite de la page
    • [TRACE] : retour au début du texte
    • [GRAPH] : aller à la fin du texte
    • [MODE] : retour à la ligne automatique
    • [X,T,0] : afficher le texte en plus petit
    • [Y=] : inverser les couleurs de l'écran
    • [CLEAR] : retour vers le menu principal de Textview
  • IMPORTANT: ne pressez jamais [2nd], [ON] pour éteindre votre calculatrice alors que vous êtes encore sous txtview, sans quoi votre calculatrice "plantera" et toutes les données enregistrées en mémoire seront perdues !
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