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Consultation du fichier Theoreme.83p

Vous pouvez télécharger ce fichier en cliquant sur le lien ci-dessous:

Utilisateurs de Netscape, après avoir cliqué sur ce lien, une page de type texte avec de nombreux caractères peut s'afficher. Cliquez alors sur Fichier/Enregistrez sous. Sélectionnez un dossier et tapez ".83p" puis validez. Votre fichier est alors téléchargé sur votre disque dur.


Contenu du fichier Theoreme.83p

Description: théorème

Texte:
1) Suite croissante non majoré tend vers +00

A réel. Suite U n'est pas majoré donc il existe un entier N tel que Un>A.
La suite U est croissante donc tous ses termes à partir du rang N sont contenus dans l'intervalle ]A;+00[.
Ainsi U tend vers +00

2) Théorème des gendarmes:

I un intervalle ouvert contenant l. Il existe un réel M tel que si X=>M; alors g(x)EI et il existe un réel M' tel que si x=>M' alors h(x)EI. D'autre part, il existe un réel M'' tel que si X=>M'' alors g(x)<=f(x)<=h(x)
Pour tout réel x > M,M',M'' on a g(x)EI, h(x)EI et g(x)<=f(x)<=(h(x), donc f(x)EI.
Si l'on note M0 le plus grd nombre M,M',M'' alors l'intervalle I contient toutes les valeurs f(x) pour x=>M0. limf= +00

3)unicité de la fonction dérivable f'=f et f(0)=1:

1. f n'est pas la fct nulle dont il existe un réel x0 f(x0)=/0. D'après l'hypo:
f(x0+0)=f(x0)xf(0), cad :
f(x0)=f(x0)xf(0).
Donc f(0)=1

2. x réel fixé. on définis fct W et Z en posant:
W(y)=f(x+y)
Z(y)=f(x)f(y)
d'aprés th de dérivation d'une fct composé:
W'(y)=f'(x+y)
Z'(y)=f(x)f'(y)
Or, pour tout réely, W(y)=Z(y),
donc W'(y)=Z'(y)
f'(x+y)= f(x)f'(y)
Pour y=0, f'(x)=f'(x)f'(0)

4) existence et unicité de la solution y'=a*y+b passant par un point donné

:a et b designent des réels donnés avec a different de 0.
:les solution sur R de l'eq differentielle y'=a*y+b sont les fonctions definies par yk = k*exp(ax)-b/a avec k reel
:
:
:
:y etant une fonction derivable sur R, on pose u=a*y+b.la fonction u est derivable sur R et u' = a*y' soit y' =(1/a) * u'
:resoudre l'equation E : y'=a*y+b equivaut à resoudre l'equation différentielle :
:(1/a)*u' = u c'est a dire E' : u'=a*u
:
:Les solutions sur R de E' sont les fonctions definies par um(x) = m*exp(ax) avec m réel.
:Donc les solutions sur R de E sont les fonctions y telles que pour tout réel x,
:m*exp(ax) = a*y(x)+b c'est a dire les fonctions definies par :
:y(x)=(1/a)*(m*exp(ax)-b)
: = (m/a)*exp(ax)-b/a
:
:Les solutions sur R de E sont ainsi les fonctions yk definies par :
yk(x) = k/exp(ax)-b/a (en posant k=m/a)
Pour tout coouple (x0,y0) de reels, l'eq differentielle y'=a*y+b ( avec a differnt de 0) admet une solution f est une seule telle que f(x0) = y0

Si f(x) = k*exp(ax)-b/a avec k reel, la condition f(x0)=y0 equivaut à :
:k*exp(a*x0) -b/a = y0 , c'est a dire :
:k= exp (-a*x0)*(y0+b/a)
:l'equation y'=a*y+b admet donc une seule solution f telle que f(x0)=y0

5)corllaire du theoreme des valeurs intermédiaires :
:
:Si f est une fonction continue et strictement monotone sur [a,b],alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'equation f(x) = k admet une solution unique dans [a,b]
:
:demonstration : cas ou f est strictement croissante sur [a,b]
:
:d'apres le theoreme des valeurs intermediaires,il existe un réel c de [a,b] tel que f(c) =k. f est strictement croissante sur [a,b] donc si x est un reel de [a,b] tel que xc alors f(x) >k.
:donc c est l'unique reel de [a,b] solution de l'equation f(x)=k

6)si f est continue sur un intervalle I, et si a est un point de I, la fonction F telle que F(x) = integrale (f(t)dt de a à x est l'unique primitive de f sur I s'annulant en a ( dans le cas ou f est continue et croissante)
:
:demonstration :
:
:x0 est un reel de I, h est un reel tel que h different de 0 et x0+h appartient à I
:
:f etant continue sur I,la fonction F est definie sur I. D'apres la relation de chasles :
:F(x0+h)-F(x0) =
:= integr de a à x0+h f(t)dt - integr a à x0 f(t) dt
:= integr de x0 à x0+h f(t)dt
:
:si h >0, f est croissante sur [x0,x0+h] donc pour tout reel t de [x0;x0+h] , on a:
:f(x0) <= f(t) <= f(x0+h)
:
:d'apres les inegalites de la moyenne :
:f(x0)<= (1/h)*integr xo à x0+h f(t)dt <= f(x0+h) c'est a dire :
:
:f(x0)<=(F(x0+h)-F(x0))/h <= f(x0+h)
:
:si h<0, par raisonnement analogue on obtient :
:f(x0+h)<=(F(x0+h)-F(x0))/h <= f(x0)
:
:f est continue en x0 donc
:lim lorsk h-0 de f(x0+h)=f(x0) et d'apres le theoreme des gendarmes :
:lim h-0 (F(x0+h)-F(x0))/h = f(x0)
:
:la fonction F est derivable en x0 et F'(x0) = f(x0). Or x0 est un reel quelconque de I donc F est derivable sur I et F'=f. F est une primitive de f sur I.
:F(a)=0, F est donc l'unique primitive de f qui s'annule en a

7)limite en +oo de exp(x)/x et de lnx/x et en -oo de x*exp(x)
:
:
:lim en x=+oo exp(x)/x
:
:phi est la fonction definie sur [0;+oo[ par phi(x) = exp(x)-1/2*(x^2),
:on a phi'(x) = exp(x)-x et
:phi''(x) = exp(x)-1
:
:phi'' est positive sur [0;+oo[ donc phi' est croissante sur [0;+oo[ or phi'(0) = 1 donc phi' est positive sur [0;+oo[.
:alors phi est croissante sur [0,+oo[, comme phi(0) = 1, phi est positive sur [0,+oo[
:
:on en deduit que pour tout reel x de ]0;+oo[, exp(x)/x >= 1/2*x
:d'apres les proprietes de comparaisons de deux fonctions :
:lim x +oo (1/2)*x = +oo
:donc lim x +oo (exp(x))/x = +oo
:
:
:
:limite en +oo de lnx/x :
:
:pour x>0, on pose X = ln x alors
:ln x/x = X/exp(X)
:lim x +oo (X) = +oo et
:lim X +oo X/exp(X) = 0 d'apres le thm precedent.
:Avec la propriété de composition , on obtient :
:lim x +oo lnx/x = 0
:
:
:
:Limite -oo de x*exp(x)
:
:on effectue le changement de variable X = -x, alors x*exp(x) = -X*exp(-X)
:= -X/ (exp X).
:lim x -oo (X) = +oo et d'apres le resultat du thm 1,
:lim X +oo (-X/ exp X) = 0.
:Avec la propriete de composition, on obtient
:lim x -oo x*exp(x) = 0

8) teta a qui associe : cos teta +i*sin teta verifie l'equation fonctionnelle caracteristique des fonctions exponentielles.
:
:f est la fonction definie sur R et à des valeurs dans C par
:f(teta)=cos teta + i*sin teta.
:
:pour tous reels teta et teta',
:f(teta+teta') = f(teta)*f(teta'). en effet,les complexes f(teta+teta') et f(teta)*f(teta') ont pour module 1 et pour argument (teta+teta')
:
:Les fonctions cos et sin etant derivable sur R, on dit que f est derivable sur R.
:La fonction derivee de f definie par f'(teta)=cos'(teta)+i*sin'(teta) = -sin(teta)+i*cos(teta).
:on obtient alors f'(0)=i
:par analogie avec la definition de la fonction exponentielle, on adopte l'ecriture exp(i*teta)= cos teta+i*sin teta

9) n = n-1 + n-1
:p p-1 p
:
:pour tous entiers naturels tels que
:1<= p <= n-1
:
:E est un ensemble a n elements , on note a un élément fixé de E.Pour dénombrer les parties à p éléments de E, on peut distinguer :
:- celles qui ne contiennent pas a : ce sont les parties à p élément choisis parmi les n-1 éléments de E distincts de a; elles sont au nombre de n-1
: p
:
:- celles qui contiennent a, il reste a choisir p-1 éléments parmis les n-1 éléments de E différents de a, on en compte donc n-1
: p-1
:
:or il y a n parties à p éléments de E,donc
: p
:
:n = n-1 + n-1
:p p-1 p
:
:
:
:
:
:
:n = n
:p n-p
:
:E est un ensemble à n éléments. A chaque partie A de E à p éléments, on associe la partie A barre formée des n-p éléments de E qui n'appartiennent pas à A. Il y a donc autant de parties à p éléments que de parties à n-p éléments ce qui prouve l'égalité énoncée

[ Langue: fr - Auteur: Nic0 and NoOf (termS) ]

Utilisation du fichier sur une calculatrice

Pour pouvoir lire ce fichier sur une calculatrice Ti82, Ti83, ou Ti83+, vous devez télécharger les deux programmes ci-dessous:

Suivez à présent ces étapes :

  • Si vous possédez une Ti83 ou une Ti83+:
    1. Décompressez les fichiers ion.zip et txtviewAV.zip à l'aide d'un utilitaire du type Winzip.
    2. Ouvrez votre logiciel de transfert Ti-PC, puis connectez votre cable (si vous n'en possédez pas, vous pouvez en acquérir un à partir de 6 euros sur les enchères de france83.com: voir la pub en haut de la page).
    3. Envoyez les fichier Ion.83g (ou ion.8xg si vous avez une Ti83+), Txtview.83g (ou Txtview.8xg si vous avez une Ti83+) et Theoreme.83p sur votre calculatrice.
    4. Sur votre calculatrice, lancez le programme nommé "ION", un programme nommé "A" est généré.
    5. Lancez le programme nommé "A". "Textview" apparait alors dans le menu qui s'affiche. Cliquez dessus. Vous voyez un nouveau menu s'ouvrir. La description du programme que vous venez de télécharger y apparait. Cliquez dessus. Votre texte s'affiche sur l'écran !

  • Si possédez une Ti82:
    1. Décompressez les fichiers crash.zip et txtview82.zip à l'aide d'un utilitaire du type Winzip.
    2. Ouvrez votre logiciel de transfert Ti-PC, puis connectez votre cable (si vous n'en possédez pas, vous pouvez en acquérir un à partir de 6 euros sur les enchères de france83.com: voir la pub en haut de la page).
    3. Envoyez les fichiers Crash.82b (attention ceci effacera toutes les données enregistrées sur votre calculatrice!) puis TxtView.82p et Theoreme.83p sur votre Ti
    4. Lancez le programme nommé "Crash". "Textview" apparait alors dans le menu qui s'affiche. Cliquez dessus. Vous voyez un nouveau menu s'ouvrir. La description du programme que vous venez de télécharger y apparait. Cliquez dessus. Votre texte s'affiche sur l'écran !
Options relatives à textview

Une fois les étapes précédentes réalisées, vous voilà sur le programme textview. Ce programme propose plusieurs options qui vous permettent de lire le fichier que vous venez de télécharger. Voici les boutons de votre calcultrice à presser pour obtenir l'action indiquée:

  • (quand vous êtes sur ION ou sur CRASH (Ti82), cliquez sur [MODE] pour quitter ION)
  • Quand vous êtes dans le menu principal de Textview:
    • [flèche "haut"] : faire monter le curseur de sélection
    • [flèche "bas"] : faire descendre le curseur de sélection
    • [flèche "droite"] : change de page (s'il y'a plus de 9 fichiers sur la calculatrice)
    • [CLEAR] : retourner vers ION
  • Quand vous lisez un fichier avec textview:
    • [flèches] : faire défiler le texte sur l'écran
    • [DEL] : aller en haut de la page
    • [STAT] : aller en bas de la page
    • [2nd] + [flèche "gauche"] : aller à gauche de la page
    • [2nd] + [flèche "droite"] : aller à droite de la page
    • [TRACE] : retour au début du texte
    • [GRAPH] : aller à la fin du texte
    • [MODE] : retour à la ligne automatique
    • [X,T,0] : afficher le texte en plus petit
    • [Y=] : inverser les couleurs de l'écran
    • [CLEAR] : retour vers le menu principal de Textview
  • IMPORTANT: ne pressez jamais [2nd], [ON] pour éteindre votre calculatrice alors que vous êtes encore sous txtview, sans quoi votre calculatrice "plantera" et toutes les données enregistrées en mémoire seront perdues !
TTT, Text To Ti, est un programme réalisé par guillaume renard (france83.com) adapté du logiciel calctext de kouri (encore merci kouri!). Tous droits réservés à leurs auteurs. Les images et les textes du site sont protégés par copyright. © Guillaume Renard - 2002. Ti82, Ti83, Ti83+ sont des marques déposées par le groupe Texas Instrument. France83.com, le logiciel TTT, Text To Ti, et son auteur ne sont, en aucun cas, affiliés ou partenaires avec le groupe Texas Instrument.