Accueil
Créer
Archives

Consultation du fichier demos1.83p

Vous pouvez télécharger ce fichier en cliquant sur le lien ci-dessous:

Utilisateurs de Netscape, après avoir cliqué sur ce lien, une page de type texte avec de nombreux caractères peut s'afficher. Cliquez alors sur Fichier/Enregistrez sous. Sélectionnez un dossier et tapez ".83p" puis validez. Votre fichier est alors téléchargé sur votre disque dur.


Contenu du fichier demos1.83p

Description: démos maths

Texte:
- ¥Z ,­ #IThéorème des gendarmes#I #1 dans le cas ou la variable où x tends vers l'infini.#2 #1Soit †>0 quelconque. Comme lim(u(x),x,+¾) = l, alors il existe un intervalle de la forme ]m;+¾[, inclus dans ]€;+¾[,sur lequel l-†‰, l-†0, on peut donc conclure que lim(f(x),x,+¾)=l.#2 #IThéorème de la bijection#I unicité de la solution #1Supposons que l'équation f(x)=k ait deux solutions distinctes c et c' dans [a,b]. Deux cas possibles: -1er cas: cc' Mais alors f(c)>f(c'). Ce qui contredit à nouveau que f(c)=f(c')=k. L'hypothèse émise au départ est donc fausse. Donc l'équation f(x)=k n'a qu'une seule solution.#2 #IDérivation d'une fonction composée#I #1ignorer les "." dans les formules après les "°". Le y doit être remplacé par un grand X pour une démonstration plus académique.#2 Soit x un réel quelconque appartenant à I et distinct de a. Alors : &E(v°u(x)-v°u(a))/(x-a) = &E((v°u(x)-v°u(a))/(u(x)-u(a)))*(((u(x)-u(a))/(x-a))) Etudions la limite de chacun de ces deux quotients lorsque x tend vers a : Comme u est dérivable en a, &Elim(((u(x)-u(a))/(x-a))=u'(a),x,a) Par ailleurs, en posant Y=u(x), on a &E(v°u(x)-v°u(a))/(u(x)-u(a)) = &E(v(u(x))-v(u(a)))/(u(x)-u(a)) = &E(v(Y)-v(b))/(Y-b) #1Or lim(u(x),x,a)=u(a)=b car u est continue en a (puisque dérivable en a) et#2 &Elim((v(Y)-v(b))/(Y-b),Y,b)=v'(b) car v est dérivable en b. Donc par composition : &Elim((v°u(x)-v°u(a))/(u(x)-u(a)),x,a)=v'(b) Par produit, on peut donc conclure que : &Elim((v°u(x)-v°u(a))/(x-a),x,a)=u'(a)*v'(b) = &Eu'(a)*v'(u(a)) La fonction v°u est donc dérivable en a et son nombre dérivé en a est &Ev'(a)=u'(a)*v'(u(a)) #IUnicité de l'équation y'=y avec condition initiale y(0)=1#I #1Soient f et g deux fonctions dérivables sur R et répondant toutes deux aux conditions y'=y y(0)=1 -Soit ‘ la fonction définie sur R par : ‘(x)=f(x)*f(-x). Cette fonction est dérivable sur R comme produit de deux fonctions dérivables sur R et ‘'(x)=f'(x)*f(-x)+f(x)*(-f'(x)) Mais d'après l'hypothèse f'=f, f'(x)=f(x) et f'(-x)=f(-x) pour tout réel x. On démontre ainsi que ‘' est la fonction nulle sur R. Par conséquent ‘ est constante sur R. Or ‘(0)=f(0)*f(0)=1. Donc ‘ est constante et égale à 1 sur R. -Soit maintenant la fonction ’ définie sur R par : ’(x)=f(-x)*g(x). Cette fonction est encore dérivable sur R et ’'(x)=-f'(x)*g(x)+f(-x)*g'(x) Compte tenu des hypothèses sur f et g, f'=f et g'=g, pour tout réel x f'(-x)=f(-x) et g'(x)=g(x). Il en découle que ’' est la fonction nulle. Donc ’ est constante sur R et comme ’(0)=f(0)*g(0)=1,’ est égale à 1 sur R. -Les fonctions ’ et ‘ sont donc égales à 1 sur R, c'est-à-dire que pour tout réel x, f(-x)*f(x)=f(-x)*g(x)=1. On en déduit deux choses : -D'abord que quel que soit le réel x, le produit f(-x)*f(x) est non nul et donc quelque soit x appartient à R, f(-x)0. -Puis en divisant chaque membre par f(-x) ( ce qui est licite puisqu'on vient de prouver qu'il est différent de 0) que, pour tout réel x, f(x)=g(x). Les fonctions f et g sont donc égales. Ce qui prouve l'unicité . #2 #ILimite de exp(x) en +¾#I Introduisons la fonction ‘ définie sur R par ‘(x)=e#1#Ex#E#2-x. ‘ est la somme de deux fonctions dérivables sur R donc elle est elle-même dérivable sur R et ‘'(x)=e#1#Ex#E#2-1. Comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur R et que –#1#E0#E#2=1,on en déduit que quelque soit x<0, e#1#Ex#E#2>1 et que quelque soit x>0, e#1#Ex#E#2>1. Donc ‘' est strictement négative sur ]-¾;0[ et strictement positive sur ]0;+¾[. Donc la fonction ‘ est strictement décroissante sur R#1#E-#E#2 et strictement croissante sur R#1#E+#E#2. Elle atteint donc son minimum pour x=0. Or ‘(0)=1, donc quelque soit x appartient à R, ‘(x)ž1. La fonction ‘ est donc strictement positive. D'où quelque soit x appartient à R, e#1#Ex#E#2>x. On peut maintenant utiliser le théorème de comparaison : lim(x,x,+¾) donc lim(e#1#Ex#E#2,x,+¾)=+¾ #ILimite de exp(x)/x en +¾#I Pour la deuxième limite, utilisons à nouveau le théorème de comparaison : on a prouvé ci-dessus que pour tout réel X, e#1#EX#E#2>X. Soit x un réel quelconque; écrivons l'inégalité précédente pour X=x/2 : &E–^(x/2)>x/2 Si en plus, on suppose x positif, les deux membres de l'inégalité précédente seront positifs et ils seront rangés dans le même ordre que leurs carrés ; d'où : quelque soit xž0, &E(–^(x/2))^2>(x/2)^2 Il en découle que quelque soit xž0, &E(e^x)>(x/4) Donc: &E(e^(x)/x)>(x/4) On peut maintenant conclure par le théorème de comparaison : &Elim((x/4),x,¾) =+¾ donc &Elim((–^x)/x,x,¾) =+¾ #ILimite de exp(x) en -¾#I #1Le y doit être remplacé par un grand X #2 Les deux limites suivantes s'obtiennent à l'aide du théorème de composition : Posons y=-x. Alors &Ee^x=e^(­y) = &E1/e^(y) Or &Elim(­x,x,­¾) =+¾ &Elim(1/e^(y),y,¾) =0 car &Elim(e^y,y,¾) =+¾ donc par composition &Elim(e^x,x,­¾) =0 #ILimite de x*exp(x) en -¾#I #1Le y doit être remplacé par un grand X #2 De même &Exe^x = &E­y*e^(­y)=­y/e^y Or lim(-x,x,-¾)=+¾ et &Elim(­(y/e^(­y)),y,¾) = &Elim(­(1/((e^y)/y)),y,¾) =0 car &Elim((e^y)/y,y,¾) =+¾ donc par composition &Elim(x*e^x,x,­¾) =0 #I#1Existence et unicité de la solution de y'=ay+b avec condition initiale#2#I -Soit c un réel quelconque et f la fonction définie sur R par &Ef(x)=c*e^(a*x)-b/a Démontrons que f est solution de l'équation y'=ay+b. La fonction f est dérivable sur R et pour tout réel x, &Ef'(x)=a*c*e^(ax) Or : quelque soit x qui appartient à R &Ea*f(x)+b = &Ea*(c*e^(ax)-b/a)+b = &Ef'(x) Donc : &Ea*f(x)+b=f'(x) Ce qui signifie que f(x) est solution de l'équation différentielle y'=ay+b. -Inversement, soit f une solution de l'équation différentielle y'=ay+b. Introduisons la fonction g définie par : &Eg(x)=f(x)+b/a g est dérivable sur R et pour tout réel x, g'(x)=f'(x). Or &Ea*g(x)=a*(f(x)+b/a) = &Ea*f'(x) puisque f est solution de l'équation y'=ay+b. Donc pour tout réel x, ag(x)=g'(x). Donc g est solution de l'équation différentielle : y'=ay. Par conséquent, il existe un réel c tel que pour tout réel x, &Eg(x)=c*e^(a*x) Alors, f(x)= &Eg(x)-b/a=c*e^(a*x)-(b/a) pour tout réel x. #ILimite en ln(x) en +¾#I #1Pour démontrer que lim(ln(x),x,¾), il suffit de prouver que ln(x) peut dépasser n'importe quel réel, pour x suffisamment grand. Soit donc un réel A quelconque, alors#2 ln(x)>A <=> e#1#Eln(x)#E#2>e#1#EA#E#2 <=> x>A Ceci prouve qu'en prenant x plus grand que M=e#1#EA#E#2, on aura l'assurance que ln(x)>A. D'où lim(ln(x),x,¾)=+¾ #ILimite de ln(x)/x en -¾#I #1Le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers +¾, donc il s'agit d'une forme indéterminée. Mais lors de la démonstration de la continuité de f, on a prouvé que pour tout réel a strictement positif ln(a)œa-1. On en déduit que quelque soit a>0, ln(a)0, &Eln(¨(a))<¨(x) Or pour tout x>0, &Eln(¨(x))<¨(x) <=> &Eln(x)<2¨(x) <=> &Eln(x)/x<(2¨(x))/x <=> &Eln(x)/x<2/¨(x) et pour tout x>1, on a donc 0< &Eln(x)/x<2/¨(x) Mais &Elim(2/¨(x),x,¾)=0 donc d'après le théorème des gendarmes, &Elim(ln(x)/x,x,¾)=0 #ILimite de ln(x) en 0#1#E+#E#I #1Le y doit être remplacé par un grand X et les limites en 0 sont toutes en 0#E+#E#2. On utilise le théorème de composition en posant &Ey=1/x Alors pour tout x>0 &Ex=1/y et ln(x)= &Eln(1/y) = &E­ln(y) Or &Elim(1/x,x,0) =+¾ lim(-ln(y),y,¾)=-¾ donc par composition lim(ln(x),x,0#1#E+#E#2)=-¾ #ILimite de x*ln(x) en 0+#I #1#WLe y doit être remplacé par un grand X et les limites en 0 sont toutes en 0#E+#E#2.#W #1Comme x tend vers 0 et que ln(x) tend vers -¾, il y a indétermination. Mais avec le même changement de variable, on peut écrire que pour tout x>0#2 xln(x)= &E(1/y)*ln(1/y) = &E(1/y)*(­ln(y)) = &E­(ln(y)/y) Or &Elim(1/x,x,0) =+¾ &Elim(­(ln(y)/y))=0 donc par composition lim(x*ln(x),x,0#1#E+#E#2)=+¾ #ISuite croissante non majorée diverge vers +¾#I #1la suite u indice n est noté (Un)#2 #1Soit (Un) une suite croissante et non majorée. Démontrons que lim(Un,n)=+¾ : Soit A un réel strictement positif quelconque. Comme la suite (Un) n'est pas majorée, il existe au moins un terme Up de la suite tel que Up>A. Mais comme la suite (Un) est croissante, pour tout entier nžp, UnžUp>A. On a donc trouvé un entier p, à partir duquel tous les termes de la suite sont dans l'intervalle ]A;+¾[ . Ce qui démontre que lim(Un,n)=+¾.#2 #IThéorème des gendarmes pour les suites#I #1la suite u indice n est noté (Un)#2 #1Soit n0 le rang à partir duquel UnœVnœWn . Comme les suites (Un) et (Wn) convergent vers l, alors pour tout †>0, il existe un entier n1 à partir duquel Un]l-†;l+†[ et un entier n2 à partir duquel Wn]l-†;l+†[. Il en découle que si n est supérieur ou égal au plus grand des trois nombres n0, n1 et n2 alors l-†b de celui où xb, f étant croissante sur l'intervalle I et donc aussi sur [b;x], on aura, pour tout t[b;x] : f(b)œf(t)œf(x). D'après l'inégalité de la moyenne on en déduit alors que : (x-b)*f(b)œ#2 &E½(f(t),t,b,x) œ(x-b)*f(x) #1Puis en divisant chaque membre par x-b qui est >0 on obtient que : #2 f(b)œ &E(F(x)-F(b))/(x-b) œf(x) Or f étant continue en b,lim(f(x),x,b#1#E+#E#2)=f(b). Donc d'après le théorème des gendarmes, lim((F(x)-F(b))/(x-b),x,b#1#E+#E#2)=f(b) Si x0 on aboutit à #2 f(x)œ &E(1/(b-x))*½(f(t),t,x,b) œf(b) Soit encore f(x)œ (­1/(x-b))*­½(f(t),t,b,x) œf(b) d'où : f(x)œ &E(F(x)-F(b))/(x-b) œf(b) Or toujours par continuité lim(f(x),x,b#1#E-#E#2)=f(b), donc d'après le théorème des gendarmes : lim((F(x)-F(b))/(x-b),x,b#1#E-#E#2)=f(b) Les limites du taux d'accroissement de F en b sont égales à f(b) lorsque x tend vers b#1#E+#E#2 et b#1#E-#E#2, donc lim((F(x)-F(b))/(x-b),x,b)=f(b) #1On en déduit que la fonction F est dérivable en b et que son nombre dérivé en b est f(b). Ceci étant vrai pour tout bI, on peut conclure que F est dérivable sur I et que sa fonction dérivée est f.#2 à‘Ê

[ Langue: fr - Auteur: badr AMMOUR (termS) ]

Utilisation du fichier sur une calculatrice

Pour pouvoir lire ce fichier sur une calculatrice Ti82, Ti83, ou Ti83+, vous devez télécharger les deux programmes ci-dessous:

Suivez à présent ces étapes :

  • Si vous possédez une Ti83 ou une Ti83+:
    1. Décompressez les fichiers ion.zip et txtviewAV.zip à l'aide d'un utilitaire du type Winzip.
    2. Ouvrez votre logiciel de transfert Ti-PC, puis connectez votre cable (si vous n'en possédez pas, vous pouvez en acquérir un à partir de 6 euros sur les enchères de france83.com: voir la pub en haut de la page).
    3. Envoyez les fichier Ion.83g (ou ion.8xg si vous avez une Ti83+), Txtview.83g (ou Txtview.8xg si vous avez une Ti83+) et demos1.83p sur votre calculatrice.
    4. Sur votre calculatrice, lancez le programme nommé "ION", un programme nommé "A" est généré.
    5. Lancez le programme nommé "A". "Textview" apparait alors dans le menu qui s'affiche. Cliquez dessus. Vous voyez un nouveau menu s'ouvrir. La description du programme que vous venez de télécharger y apparait. Cliquez dessus. Votre texte s'affiche sur l'écran !

  • Si possédez une Ti82:
    1. Décompressez les fichiers crash.zip et txtview82.zip à l'aide d'un utilitaire du type Winzip.
    2. Ouvrez votre logiciel de transfert Ti-PC, puis connectez votre cable (si vous n'en possédez pas, vous pouvez en acquérir un à partir de 6 euros sur les enchères de france83.com: voir la pub en haut de la page).
    3. Envoyez les fichiers Crash.82b (attention ceci effacera toutes les données enregistrées sur votre calculatrice!) puis TxtView.82p et demos1.83p sur votre Ti
    4. Lancez le programme nommé "Crash". "Textview" apparait alors dans le menu qui s'affiche. Cliquez dessus. Vous voyez un nouveau menu s'ouvrir. La description du programme que vous venez de télécharger y apparait. Cliquez dessus. Votre texte s'affiche sur l'écran !
Options relatives à textview

Une fois les étapes précédentes réalisées, vous voilà sur le programme textview. Ce programme propose plusieurs options qui vous permettent de lire le fichier que vous venez de télécharger. Voici les boutons de votre calcultrice à presser pour obtenir l'action indiquée:

  • (quand vous êtes sur ION ou sur CRASH (Ti82), cliquez sur [MODE] pour quitter ION)
  • Quand vous êtes dans le menu principal de Textview:
    • [flèche "haut"] : faire monter le curseur de sélection
    • [flèche "bas"] : faire descendre le curseur de sélection
    • [flèche "droite"] : change de page (s'il y'a plus de 9 fichiers sur la calculatrice)
    • [CLEAR] : retourner vers ION
  • Quand vous lisez un fichier avec textview:
    • [flèches] : faire défiler le texte sur l'écran
    • [DEL] : aller en haut de la page
    • [STAT] : aller en bas de la page
    • [2nd] + [flèche "gauche"] : aller à gauche de la page
    • [2nd] + [flèche "droite"] : aller à droite de la page
    • [TRACE] : retour au début du texte
    • [GRAPH] : aller à la fin du texte
    • [MODE] : retour à la ligne automatique
    • [X,T,0] : afficher le texte en plus petit
    • [Y=] : inverser les couleurs de l'écran
    • [CLEAR] : retour vers le menu principal de Textview
  • IMPORTANT: ne pressez jamais [2nd], [ON] pour éteindre votre calculatrice alors que vous êtes encore sous txtview, sans quoi votre calculatrice "plantera" et toutes les données enregistrées en mémoire seront perdues !
TTT, Text To Ti, est un programme réalisé par guillaume renard (france83.com) adapté du logiciel calctext de kouri (encore merci kouri!). Tous droits réservés à leurs auteurs. Les images et les textes du site sont protégés par copyright. © Guillaume Renard - 2002. Ti82, Ti83, Ti83+ sont des marques déposées par le groupe Texas Instrument. France83.com, le logiciel TTT, Text To Ti, et son auteur ne sont, en aucun cas, affiliés ou partenaires avec le groupe Texas Instrument.